| PAGINA INIZIALE ALGEBRA 1 |
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| Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Corso di Laurea in Matematica Corso di Laurea in Matematica e Informatica Anno Accademico 2001/2002 |
ALGEBRA 1 |
6 crediti prof.F.Mazzocca |
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06 marzo : Proprietà fondamentali degli interi. Principio di induzione. Principio di buon ordinamento. La divisione euclidea. Sistemi di numerazione. Immagini mostrate 08 marzo : Divisibilità in Z. Massimo comune divisore di due interi. Algoritmo di Euclide. Identità di Bézout. Minimo comune multiplo di due interi. 11 marzo : L'equazione diofantea ax+by=c. Numeri primi. Il teorema fondamentale dell'aritmetica. Argomento di Euclide e infinità dei numeri primi. Il crivello di Eratostene. 13 marzo : Relazioni d'equivalenza e insiemi quoziente. Congruenza modulo un intero. L'anello Zn degli interi modulo n. L'indicatore di Eulero-Gauss. Elementi invertibili in Zn. 15 marzo : Esercizi su : sistemi di numerazione; criteri di divisibilità; massimo comune divisore di interi e forma di Bézout. 18 marzo : Divisori dello zero in Zn. Teorema di Fermat-Eulero. Piccolo teorema di Fermat. Congruenze lineari. Teorema cinese del resto. Operazioni su un insieme e strutture algebriche. Elemento neutro ed elementi simmetrizzabili. Parti stabili. 20 marzo : Proprietà delle parti stabili. Parte stabile generata da un insieme. Semigruppi: primi esempi e proprietà. Elementi regolari. Elementi permutabili. Centro di una struttura algebrica. Isomorfismi. Morfismi. Gruppi: definizioni, primi esempi, periodo di un elemento. 22 marzo : Esercizi su : congruenze lineari; piccolo teorema di Fermat e problemi di divisibilità in Z. 03 aprile : Anelli: definizioni e primi esempi. Caratteristica di una anello. Prime proprietà dei gruppi. Traslazioni. Sottogruppi di un gruppo. Test di sottogruppo. 05 aprile : Esercizi su: aritmetica modulare; radici n-esime dell'unità nel campo complesso. 08 aprile : Intersezione di sottogruppi. Sottogruppo generato da un insieme. Sottogruppo generato da due sottogruppi. Sottogruppi permutabili. Gruppi ciclici. Sottogruppi additivi di Z e di Zn. Il gruppo simmetrico su n oggetti. 10 aprile : Prime proprietà di Sn. Permutazioni disgiunte. Cicli. Fattorizzazione di una permutazione in cicli disgiunti e non banali e notazione ciclica. 12 aprile : Esercizi. 15 aprile : Le relazioni d'equivalenza R'H e R''H individuate da un sottogruppo H di un gruppo. Laterali di un sottogruppo. Indice di un sottogruppo in un gruppo. Teorema di Lagrange. Ordine di una permutazione. Inversioni e parita' di una permutazione. Trasposizioni. 17 aprile : Parita' del prodotto di due permutazioni. Il gruppo alterno. Gruppi di permutazioni e teorema di Cayley. Esempi di gruppi: Il gruppo di Klein, Il gruppo dei quaternioni, l'automorfo di un gruppo. 19 aprile : Esercizi. 22 aprile : Sottoanelli di un anello e loro proprieta'. Sottoanello generato da un insieme. Ideali di un anello e loro prime proprieta'. 24 aprile : Ideali e anelli principali. Ideali massimali e primi. Ideali di Z e di Zn. L'anello dei polinomi a coefficienti in un anello commutativo unitario. Funzioni polinomiali e principio d'identità dei polinomi. L'algoritmo della divisione negli anelli di polinomi. 26 aprile : Esercizi. 29 aprile : Proprietà degli anelli di polinomi. Ideali di polinomi. Anelli di polinomi in n variabili. 03 maggio : Esercizi. 06 maggio : Campo dei quozienti di un dominio d'integrità. 08 maggio : Proprietà caratteristiche del campo dei quozienti di un dominio di integrità. Estensioni quadratiche di anelli. 10 maggio : Esercizi. 13 maggio : Divisibilità nei domini di integrità unitari. Elementi associati. Elementi irriducibili e primi. Divisibilit\'a e massimo comune divisore negli anelli principali. Esercizi. 15 maggio : Prima prova di esonero. 17 maggio : Esercizi. 20 maggio : Divisibilità negli anelli di polinomi. Radici di un polinomio. Teoremi del resto e di Ruffini. Principio d'identità dei polinomi nei domini d'integrità unitari infiniti. Polinomi (e ideali) irriducibili e primi. 22 maggio : Polinomi primitivi e lemma di Gauss. Irriducibilità di polinomi a coefficienti interi su Z e su Q. Teorema di Eisenstein. Esercizi. 24 maggio : Irriducibilità su Q di polinomi a coefficienti interi. Fattorizzazione unica in Z[x]. 27 maggio : Sottogruppi normali, gruppi quoziente e loro prime propriet\'a. Morfismi di gruppo e teorema di omomorfismo. 29 maggio : (La prima ora è stata dedicata alla compilazione di un questionario) Teoremi di isomorfismo per gruppi. Classificazione e proprietà fondamentali dei gruppi ciclici. Definizione di anello quoziente. 31 maggio : Propriet\'a degli anelli quoziente. Morfismi di anelli e teorema di omomorfismo. Sottoanello fondamentale di un anello unitario. Sottocampo fondamentale di un corpo. 03 giugno : Esercizi. 05 giugno : Esercizi. |
Marzo: 06 . 08 . 11 . 13 . 18 . 20 Aprile: 03 . 08 . 10 . 15 . 17 . 22 . 24 . 29 Maggio: 06 . 08 . 13 . 20 . 22 . 24 . 27 . 29 . 31
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Per richiesta di
chiarimenti francesco.mazzocca@unina2.it |