| PAGINA INIZIALE ALGEBRA 1 |
| INFORMAZIONI STUDENTI |
| Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Corso di Laurea in Matematica Corso di Laurea in Matematica e Informatica Anno Accademico 2002/2003 |
ALGEBRA 1 |
6 crediti prof.F.Mazzocca |
|
06 marzo : Proprietà fondamentali degli interi. Principio di induzione. Immagini mostrate 10 marzo : Principio di buon ordinamento. La divisione euclidea. Sistemi di numerazione. Massimo comune divisore di due interi. Algoritmo di Euclide. Identità di Bézout. Minimo comune multiplo di due interi. 12 marzo : Divisibilità in Z. Numeri primi. Il teorema fondamentale dell'aritmetica. Argomento di Euclide e infinità dei numeri primi. Il crivello di Eratostene. Numeri e primi di Mersenne e di Fermat. 13 marzo : Esercizi su : sistemi di numerazione; massimo comune divisore di interi; equazioni diofantee del tipo ax+by=0. 17 marzo : Congruenza modulo un intero e relative proprietà. L'anello Zn degli interi modulo un intero n. Funzione di Eulero. 19 marzo : Elementi invertibili e divisori dello zero in Zn. Il campo Zp dei resti modulo un primo p. Teorema di Fermat-Eulero e piccolo teorema di Fermat. Generalità sulle strutture algebriche: prime definizioni ed esempi. 20 marzo : Esercizi su : aritmetica modulare, funzione di Eulero, elementi invertibili e divisori dello zero in Zm. 24 marzo : Lezione non tenuta per sospensione delle attività didattiche. 26 marzo : Lezione non tenuta per sospensione delle attività didattiche. 27 marzo : Teorema cinese del resto. Esercizi su : equazioni congruenziali. 31 marzo : Operazioni su un insieme e strutture algebriche. Elemento neutro ed elementi simmetrizzabili. Parti stabili. Proprietà delle parti stabili. Parte stabile generata da un insieme. Semigruppi: primi esempi e proprietà. Elementi regolari. Elementi permutabili. Centro. Isomorfismi. 2 aprile : Morfismi fra strutture algebriche. Introduzione ai gruppi: prime definizioni ed esempi, prime proprietà, ordine degli elementi. 3 aprile : Esercizi su : teorema cinese del resto, applicazioni del piccolo teorema di Fermat, ordine degli elementi di un gruppo (in particolare del gruppo additivo di Zn). 7 aprile : Introduzione agli anelli: prime definizioni ed esempi, prime proprietà, divisori dello zero, elementi nilpotenti. Il gruppo degli elementi invertibili di un anello unitario. Nozioni di anello integro, dominio d'integrità, corpo, campo. Caratteristica di un anello. Esercizi su : morfismi di gruppi. 9 aprile : Sottogruppi di un gruppo: prime proprietà ed esempi. Test di sottogruppo. Sottogruppi ciclici. Intersezione di sottogruppi. Sottogruppo generato da un insieme. Sottogruppo generato da due sottogruppi. Sottogruppi permutabili. 10 aprile : Esercizi su : morfismi di gruppi, traslazioni in un gruppo, legge di cancellazione in un gruppo. 14 aprile : Permutazioni su un insieme. Il gruppo simmetrico su n oggetti Sn : esempi, notazioni, prime proprietà, permutazioni disgiunte, k-cicli. Esercizi su : gruppi. 16 aprile : Fattorizzazione di una permutazione in cicli disgiunti e notazione ciclica. Ordine di una permutazione. Parità di una permutazione. Il gruppo alterno An. 23 aprile : Proprietà e classificazione dei gruppi ciclici. Teorema di Cayley e gruppi di permutazioni. Esercizi su : morfismi di gruppi, permutazioni. 24 aprile : Esercizi su : gruppo simmetrico e gruppo alterno. 28 aprile : Sottoanelli di un anello: definizioni ed esempi, prime proprietà, intersezione di sottoanelli, sottoanello generato da un insieme. Ideali di un anello: definizioni ed esempi, prime proprietà, intersezione di ideali. Esercizi su : gruppi. 30 aprile : Proprietà degli ideali di un anello. Ideali di Z e di Zn. Polinomi a coefficienti in un anello commutativo unitario A: prime definizioni, grado, funzioni polinomiali, principio d'identità dei polinomi. L'anello A[x]. 5 maggio : Algoritmo della divisione euclidea in anelli di polinomi. Anello dei polinomi su un campo: principalità, generatori di un ideale e polinomio minimo, esempi ed esercizi. Esercizi su : gruppi. 7 maggio : Campo dei quozienti di un dominio d'integrità: costruzione e prime proprietà. Esercizi su : ideali di un anello. 19 maggio : Proprietà del campo dei quozienti di un dominio d'integrità. Estensioni quadratiche di anelli Esercizi su : ideali di un anello; anelli di polinomi. 21 maggio : Divisibiltà in un dominio d'integrità unitario: definizioni, elementi associati e loro proprietà, elementi irriducibili e primi e loro proprietà. Massimo comune divisore in anelli principali. Divisibilità in anelli di polinomi. 26 maggio : Radici di un polinomio. Teoremi del resto e di Ruffini e loro applicazioni. Numero di radici di un polinomio. Principio d'identità dei polinomi. Polinomi irriducibili e ideali massimali. Esercizi su : divisione e massimo comune divisore di polinomi. 28 maggio : Polinomi primitivi e lemma di Gauss. Irriducibilità di polinomi a coefficienti interi su Z e su Q. Teorema di Eisenstein. Irriducibilità su Q di polinomi a coefficienti interi. Fattorizzazione unica in Z[x]. 29 maggio : Laterali di un sottogruppo e loro proprietà. Indice di un sottogruppo in un gruppo. Teorema di Lagrange. Radici multiple di un polinomio e loro proprietà. Esercizi su : Riducibilità e irriducibilità di polinomi. Polinomio derivato. 30 maggio : Sottogruppi normali e loro proprietà. Gruppi quoziente: definizione e prime proprietà. Quozienti di (Z,+) e (Zn). 4 giugno : Sottogruppi di un quoziente. Morfismi fra gruppi. Nucleo di un morfismo e sue proprietà. Teorema di omomorfismo per gruppi e sue prime applicazioni. Esercizi su : Teorema fondamentale dell'algebra. Polinomi irriducibili sui reali. Teorema di Lagrange e sue applicazioni. Sottogruppi normali. 5 giugno : Classificazione dei gruppi ciclici. Anelli quoziente: definizione e prime proprietà. 6 giugno : Propriet\'a degli anelli quoziente. Morfismi di anelli e teorema di omomorfismo. Applicazioni del teorema di omomorfismo. Esercizi su : sottogruppi normali, quozienti di gruppi morfismi di gruppi. 9 giugno : Sottoanello fondamentale di un anello unitario. Sottocampo fondamentale di un corpo. Esercizi su : Quozienti di anelli, ideali massimali. 11 giugno : Elementi algebrici e trascendenti di un campo rispetto ad un sottocampo, polinomio minimo di un elemento algebrico. Esercizi su : Campo dei quozienti di un dominio d'integrit\'a. Numeri algebrici e trascendenti sui razionali, polinomio minimo di un numero algebrico. 12 giugno : Esercizi su : Divisione euclidea dei polinomi in Zn[x]. Caratteristica e sottoanello fondamentale di un anello unitario. Sottocampo fondamentale di un corpo. |
Marzo: 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 Aprile: 7 . 8 . 9 . 10 . 11 . 12 . 13 . 14 Maggio: 15 . 16 . 17 . 18 . 19 . 20 . 21 Giugno: 22 . 23
|
|
Per richiesta di
chiarimenti francesco.mazzocca@unina2.it |