Capitolo 6

Prime Proprietá dei Gruppi

6.1  Sottogruppi di un gruppo

Sia G un gruppo.

DEFINIZIONE 1 Un sottoinsieme H di G si chiama sottogruppo se é una parte stabile e se é un gruppo rispetto all'operazione indotta in esso da G. Per un sottogruppo H di G si usa la notazione H £ G. ¨

OSSERVAZIONE 2 Notiamo esplicitamente che una parte stabile di un gruppo non é necessariamente un sottogruppo. Per esempio, nel gruppo additivo degli interi, il sottoinsieme N_o degli interi non negativi é una parte stabile ma, evidentemente, non é un sottogruppo. ¨

Ogni gruppo G possiede due sottogruppi banali : { 1 } (sottogruppo identico ) e G. Un sottogruppo H diverso da G si dice proprio e per esso si usa la notazione H < G. Valgono, inoltre, le seguenti proprietá di facile verifica:

· l'unitá di H coincide con l'unitá di G;

· l'inverso in H di un suo elemento a coincide con l'inverso di a in G;

· HH = { ab  :  a,b Î H} = H . Le due proposizioni che seguono forniscono degli utili test per verificare se un sottoinsieme H di G é un sottogruppo.

PROPOSIZIONE 3 In un gruppo G valgono le seguenti equivalenze: 

· H £ G Û   H è stabile e  { a Î H  implica che a^-1 Î H ^{} ;}

· H £ G Û a^-1b Î H, per ogni a,b Î H ;

DIMOSTRAZIONE.   E' lasciata per esercizio al Lettore. ¨

PROPOSIZIONE 4 In un gruppo G vale la seguente equivalenza: 

· H £ G, H finito Û H sottoinsieme finito e stabile di G.

DIMOSTRAZIONE.   La prima implicazione é ovvia. Supponiamo, dunque, che H sia un sottoinsieme finito e stabile di G. Se b é un elemento di H, risulta

Ora, poiché 1 Î H = bH, esiste un elemento c Î H tale che bc = 1, cosí c = b^-1 e abbiamo che b^-1 Î H, per ogni b Î H. Ne segue che H é un sottogruppo di G. ¨

ESEMPI 5 I seguenti sottoinsiemi sono sottogruppi di G:

· < a > = { aⁿ   :   n Î Z}, con a Î G.

· Il centro Z(G) di G. ¨

ESERCIZIO 6 Provare che gli insiemi

ESERCIZIO 7 Siano G un gruppo e H un suo sottogruppo. Provare che ogni sottogruppo di H é anche un sottogruppo di G.

Elenchiamo alcune proprietá e definizioni relative ai sottogruppi di un gruppo. 

· L'unione di due sottogruppi non é in generale un sottogruppo.

· L'intersezione di una famiglia di sottogruppi é un sottogruppo.

· La proprietá precedente permette di definire il sottogruppo generato da un sottoinsieme X di G come l'intersezione di tutti i sottogruppi di G che contengono X. Tale sottogruppo si denota con < X > ed é il piú piccolo (rispetto all'inclusione) sottogruppo di G che contiene X.

· Un sottogruppo H di G é il sottogruppo generato da un sottoinsieme X di G se, e solo se, sono verificate le due seguenti proprietá:

(1) H é un sottogruppo di G contenente X,

(2) ogni sottogruppo K di G contenente X contiene H.

· < Æ > = { 1} .

· H £ G e X Í H Þ < X > Í H.

· X Í Y Þ < X >    £    < Y > .

· < X > = X ÛX é un sottogruppo.

· Se X é non vuoto,

· Sia X = HÈK, ove H e K sono sottogruppi di G. Allora < X > si chiama sottogruppo generato da H e K e si denota con < H,K > . Risulta:

· Sia X = È_{H Î Á} H, ove Á é una famiglia di sottogruppi di G. Allora < X > si chiama sottogruppo generato dalla famiglia Á e si denota con < H  :  H Î Á > . Risulta:

· Se risulta < X > = G si dice che X é un generatore di G, o anche che G é generato da X.

ESERCIZIO 8 Provare che l'unione di una catena (rispetto all'inclusione) di sottogruppi di un gruppo é un sottogruppo.

ESERCIZIO 9 Provare che

ESERCIZIO 10 Provare che H = { 0,4,8,12} é un sottogruppo del gruppo additivo di Z₁₆.

ESERCIZIO 11 Siano G₁ e G₂ due gruppi e f\colon G₁® G₂ un monomorfismo. Provare che f(G₁) é un sottogruppo di G₂ isomorfo a G₁.

DEFINIZIONE 12 Un gruppo G (risp. un sottogruppo H di G) si dice ciclico se puó essere generato da un solo elemento, cioé se esiste a Î G (risp. a Î H ) tale che G = < a > (risp. H = < a > ). ¨

OSSERVAZIONE 13 Se G é un gruppo ciclico ed a un suo generatore, risulta

¨

ESERCIZIO 14 Sia G = < a > il gruppo ciclico generato dall'elemento a. Provare che G é infinito se, e soltanto se, a ha ordine infinito in G e, in questo caso, risulta a^h ¹ a^k, per ogni due interi non negativi e distinti h e k. Provare inoltre che G é finito d'ordine n se, e soltanto se, a ha periodo finito n in G e, in questo caso, risulta G = { 1 = a⁰, a, a²,... ,a^n-1} .

ESEMPI 15
· (Z,+) é un gruppo ciclico, avendosi Z = < 1 > = < -1 > . 

· (Z_m,+) é un gruppo ciclico, avendosi Z_m = < 1 > . ¨

ESERCIZIO 16 Provare che ogni gruppo ciclico é abeliano.

ESERCIZIO 17 Provare che il gruppo delle radici n-esime dell'unitá del campo complesso é ciclico e determinare ciascuno dei suoi generatori.

ESERCIZIO 18 Provare che il gruppo additivo dei razionali (Q,+) non é ciclico.

SOLUZIONE.   Per assurdo, sia  n/mÎQ un generatore di (Q,+), con n,m coprimi e osserviamo che deve essere m ¹ ±1, perché un intero non puó generare (Q,+). Allora dovrebbe esistere un intero k tale che

6.1.1  Sottogruppi permutabili

Se A,B sono sottoinsiemi non vuoti di un gruppo G, poniamo

DEFINIZIONE 19 Due sottogruppi H,K di G si dicono permutabili se é HK = KH, cioé se, per ogni h Î H e k Î K, esistono h₁,h₂ Î H e k₁,k₂ Î K tali che hk = k₁h₁ e kh = h₂k₂. ¹  ¨

TEOREMA 20 Siano H,K sottogruppi di G. Allora risulta < H,K > = HK se, e solo se, H e K sono permutabili.

DIMOSTRAZIONE.   Nell'ipotesi < H,K > = HK, abbiamo: 

· < H,K > = HK Þ  KH Í HK

· hk Î HK , h Î H , k Î K Þ (hk)^-1 = k^-1h^-1 Î HK Þ k^-1h^-1 = h₁k₁ con h₁ Î H e k₁ Î K Þ hk = (k^-1h^-1)^-1 = (h₁k₁)^-1 = k₁^-1h₁^-1 Î KH Þ HK Í KH.

Ne segue che é HK = KH. 

Nell'ipotesi HK = KH, dobbiamo provare che < H,K > Í HK, essendo evidente l'inclusione inversa. 

· Sia h₁k₁h₂k₂¼h_nk_n Î < H,K > , n > 0, h_j Î H, k_j Î K. Se é n = 1 l'asserto é vero e quindi possiamo procedere per induzione su n:
h_nk_n = hkh_nk_n con h Î H, k Î K Þ kh_n = h¢k¢ con h¢ Î H, k¢ Î K (perché HK = KH) Þ h₁k₁¼h_nk_n = hh¢k¢k_n = h^*k^* con h^* Î H e k^* Î K. ¨

I due corollari che seguono sono di immediata dimostrazione.

COROLLARIO 21 Se G é un gruppo abeliano e H,K due suoi sottogruppi, allora risulta

COROLLARIO 22 Siano G un gruppo e H₁,H₂,...,H_n sottogruppi di G a due a due permutabili. Allora

DEFINIZIONE 23 Siano G un gruppo e H₁,H₂,...,H_n sottogruppi di G a due a due permutabili. Il sottogruppo di G

ESEMPIO 24 Vogliamo dare un esempio di due sottogruppi H,K di un gruppo per cui risulta < H,K > ¹ HK . Naturalmente, in forza del teorema 20, H e K non dovranno essere permutabili. A Tale scopo, nel gruppo G = GL(2,Q) consideriamo i sottogruppi (cfr. esercizio  6  )

TEOREMA 25 (identitá di Dedekind) Siano H,K,L sottogruppi di G tali che

DIMOSTRAZIONE.   Abbiamo:

· H £ L, H £ HK Þ H £ HKÇL e sappiamo che é KÇL Í HKÇL Þ H(KÇL) Í HKÇL.

· a Î HKÇL Þ a Î HK e a = hk con h Î H, k Î K Þ k = h^-1a, h^-1 Î H £ L, a Î HKÇL £ L Þ K ' k = h^-1a Î L Þ k Î KÇL Þ a Î H(KÇL) Þ HKÇL Í H(KÇL).

Abbiamo cosí la (i).

· Poiché HKÇL é un sottogruppo di G, per la (i), anche H(KÇL) é un sottogruppo di G. Allora H e KÇL devono essere permutabili, cioé la (ii). ¨

6.1.2  Sottogruppi di (Z,+) e di (Z_n,+).

Abbiamo giá osservato che i gruppi (Z,+) e (Z_n,+), per ogni intero n > 1 sono ciclici. Ci proponiamo, ora, di studiare i sottogruppi di tali gruppi.

OSSERVAZIONE 26 Sia m un intero. L'insieme mZ = { ma  :  a Î Z} dei multipli di m é un sottogruppo ciclico di (Z,+), avendosi mZ = < m > . Inoltre risulta mZ = Z se, e solo se, m = ±1. ¨

PROPOSIZIONE 27 Ogni sottogruppo H di (Z,+) é del tipo

DIMOSTRAZIONE.   Abbiamo giá osservato che mZ é un sottogruppo ciclico di (Z,+). Supponiamo dunque che H sia un sottogruppo non banale e non nullo, altrimenti l'asserto é vero. In tale ipotesi H contiene almeno un intero positivo; quindi possiamo considerare il minimo m degi interi positivi contenuti in H e risulta mZ £ H. Detto a un elemento di H, se q,r sono rispettivamente il quoziente ed il resto della divisione di a per m, abbiamo

Dalla prop.27 e dall'osservazione 26 si ha subito il seguente corollario.

COROLLARIO 28 Gli interi 1 e -1 sono gli unici generatori del gruppo (Z,+).

ESERCIZIO 29 Provare che nZ é contenuto in mZ se, e solo se, m divide n.

ESERCIZIO 30 Provare che in (Z,+) il sottogruppo < a,b > generato da due interi distinti a,b coincide col sottogruppo ciclico generato da un massimo comune divisore di a e b. Provare, inoltre, che un minimo comune multiplo di a e b é un generatore del sottogruppo intersezione di < a > e < b > .

PROPOSIZIONE 31 Sia h un elemento non nullo del gruppo additivo (Z_n,+) degli interi modulo n. Allora il sottogruppo ciclico < h > generato da h ha ordine [n/MCD(n,h)]. In particolare, h é un generatore di (Z_n,+) se, e solo se, é coprimo con n.

DIMOSTRAZIONE.   E' lasciata per esercizio al Lettore. ¨

PROPOSIZIONE 32 Ogni sottogruppo del gruppo additivo (Z_n,+) é ciclico ed ha ordine divisibile per n.

DIMOSTRAZIONE.   Assumiamo Z_n = { 0,1,2,...,n-1} , sia H un sottogruppo non nullo di (Z_n,+) e sia h il piú piccolo intero positivo contenuto in H. Ovviamente risulta < h > £ H. Sia ora m un elemento di H e siano q,r il quoziente e il resto della divisione fra m ed h. Poiché risulta m-qh = r e m,qh Î H, l'intero r, che é minore di h, appartiene ad H. Ne segue che r = 0, cioé H £ (h), e in definitiva abbiamo H = < h > . Ora, dalla proposizione precedente abbiamo che l'ordine di H divide n e l'asserto é provato. ¨  

Le ultime due proposizioni hanno il seguente corollario.

COROLLARIO 33 Sia (Z_n,+) il gruppo additivo degli interi modulo n ed h un divisore positivo di n. Allora (Z_n,+) contiene un unico sottogruppo d'ordine h.

DIMOSTRAZIONE.   Posto Z_n = { 0,1,2,...,n-1 } e n = hk, il sottogruppo < k > generato da k ha ordine h. Sia ora H un sottogruppo di Z_n d'ordine h. Sappiamo che H é ciclico e che il periodo di un suo generatore m é h, per cui hm º 0 (mod  n). Ne segue che esiste un intero q tale che hm = qn, da cui m = qk Î < k > . Allora risulta H Í < k > e, essendo sia H che < k > d'ordine h, risula H = < k > . L'asserto é dunque completamente provato. ¨

OSSERVAZIONE 34 Notiamo esplicitamente che, se assumiamo Z_n = { 0,1,2,...,n-1} , e h é un intero positivo che divide n, posto n = hk, il sottogruppo ciclico generato da h in (Z_n,+) ha ordine k ed é dato da

6.2  Esempi notevoli di gruppi

6.2.1  Il gruppo simmetrico S_n

Sia X un insieme finito e non vuoto con n elementi. Ricordiamo che si definisce permutazione su X una qualsiasi applicazione biunivoca di X su se stesso e che tutte le permutazioni su X formano un gruppo rispetto al prodotto di funzioni. Tale gruppo, che abbiamo denotato con Symm(X), si chiama gruppo simmetrico su n oggetti, o di grado n.

OSSERVAZIONE 1 Se Y é un insieme non vuoto con n elementi e f é una funzione biunivoca di X su Y, é facile verificare che l'applicazione

Per non appesantire le notazioni supporremo sempre X = N_n = { 1,2,... ,n} e denoteremo con S_n il gruppo Symm(X).

A volte puó essere comodo rappresentare una permutazione s Î S_n mediante la matrice

ESEMPIO 2 Le permutazioni s e t di N₄ = { 1,2,3,4} definite da

ESEMPIO 3 Si riportano di seguito tutti gli elementi del gruppo simmetrico S₃:

¨

Se m,n sono interi positivi con m < n, ad ogni s Î S_m possiamo associare la permutazione s¢ Î S_n che opera come s sugli interi 1,2,... ,m e trasforma in se stesso ogni altro elemento di N_n. L'applicazione

Osserviamo ancora che, se s e t sono le due permutazioni su N₃ definite da

PROPOSIZIONE 4 Il gruppo simmetrico S_n non é abeliano per ogni intero n maggiore di 2.

ESERCIZIO 5 Provare che S₃ (che é non abeliano) possiede solo sottogruppi propri abeliani.

Calcolare l'ordine di S_n é un facile esercizio. Abbiamo infatti che, se si vuole costruire una permutazione s su N_n, vi sono n possibili scelte per s(1), n-1 per s(2), n-3 per s(3) e cosí via. Ne segue per induzione che

DEFINIZIONE 6 Diciamo che un elemento j di N_n é unito o fisso in una permutazione s se risulta s(j) = j e denotiamo con F(s) l'insieme degli elementi uniti di s, cioé

ESERCIZIO 7 Provare che due permutazioni disgiunte sono elementi permutabili di S_n.

DEFINIZIONE 8 Una permutazione s si dice k-ciclo o ciclo di lunghezza k se, detto j un elemento di N_n non unito in s, risulta

Osserviamo esplicitamente che nella k-pla (j,s(j),s²(j),...,s^k-1(j)) che denota il k-ciclo s compaiono soltanto gli elementi di N_n spostati da s e questi sono ordinati in modo che, tranne che per l'ultimo, l'immagine in s di ciascuno di essi é data dal successivo, mentre l'ultimo elemento ha per immagine il primo. Inoltre, se t é un qualsiasi elemento di N_n diverso da j e spostato da s, risulta anche s = (t,s(t),s²(t),...,s^k-1(t)). Per esempio, il 5-ciclo s = (2,1,3,4,7) di S₇ é la permutazione su N₇ definita da

ESERCIZIO 9 Provare che

Dalla definizione di ciclo segue subito la seguente proposizione.

PROPOSIZIONE 10 Sia s un k-ciclo di S_n. Allora risulta

Nello studio del gruppo simmetrico S_n i cicli sono di fondamentale importanza. Essi infatti generano S_n e giocano in qualche modo un ruolo simile a quello dei numeri primi nella fattorizzazione degli interi, nel senso precisato dal seguente teorema.

PROPOSIZIONE 11 Ogni permutazione s Î S_n puó decomporsi in un prodotto di cicli non banali e disgiunti. Tale decomposizione é unica a meno dell'ordine dei cicli nella fattorizzazione.

DIMOSTRAZIONE.   Essendo l'asserto ovvio nei casi n = 1,2, possiamo supporre n > 2 e procedere per induzione su n. Siano, dunque, j un elemento di N_n non unito in s ed m il piú piccolo intero positivo tale che s^m(j) = j. Osserviamo che, nel caso m = n, s é un ciclo di lunghezza n e non abbiamo nulla da provare. Se é m < n, detta t la permutazione che fissa j,s(j), s²(j),..., s^m-1(j) e opera come s sui rimanenti n-m elementi di N_n, risulta

Nel seguito, quando parleremo di fattorizzazione di una permutazione in cicli disgiunti, sottointenderemo sempre che tali cicli sono non banali. La scrittura di una permutazione s come prodotto di cicli disgiunti prende il nome di notazione ciclica di s ed é chiaro che, se un elemento j Î N_n non compare in nessuno dei cicli che fattorizzano s, allora j é unito in s.

PROPOSIZIONE 12 L'ordine di un elemento s di S_n é uguale al minimo comune multiplo delle lunghezze dei cicli che fattorizzano s.

DIMOSTRAZIONE.   Sia s₁ s₂¼s_k la fattorizzazione di s in cicli disgiunti, sia s_j l'ordine di s_j e poniamo

6.2.2  Il gruppo alterno A_n

Sia S_n il gruppo simmetrico su n oggetti, cioé il gruppo di tutte le permutazioni sull' insieme N_n = { 1,2,...,n} . I cicli di lunghezza 2 prendono il nome di trasposizioni ed é chiaro che, per ogni trasposizione s, risulta s = s^-1. Ogni trasposizione ha dunque periodo due in S_n.

Osserviamo che ogni ciclo, e quindi ogni permutazione, puó scriversi come prodotto di trasposizioni; infatti si ha

DEFINIZIONE 13 Allo scopo di trovare un invariante delle possibili fattorizzazioni di una permutazione in trasposizioni diamo le seguenti definizioni per una permutazione s: 
· Considerata una coppia (i,j), ove i,j sono elementi di N_n con i < j, si dice che s presenta un'inversione su (i,j) se risulta s(i) > s(j). · Si dice che s é una permutazione pari se presenta un numero pari di inversioni, dispari nel caso contrario. 
· si definisce segno di s, e si denota con sgn(s), l'intero 1 o -1 a seconda che s sia rispettivamente pari o dispari. ¨

ESEMPIO 14 Ogni trasposizione é una permutazione dispari e il suo segno é -1. La permutazione identica é ovviamente pari. ¨

Per ogni permutazione s risulta

PROPOSIZIONE 15 Il prodotto di due permutazioni dello stesso segno é pari e quello di segno diverso é dispari.

DEFINIZIONE 16 L'insieme di tutte le permutazioni pari di S_n costituisce un sottogruppo di S_n, che si denota con A_n e si chiama gruppo alterno su n oggetti o di grado n.

ESERCIZIO 17 Provare che risulta

ESERCIZIO 18 Provare che un ciclo é una permutazione pari o dispari a seconda che la sua lunghezza sia rispettivamente dispari o pari.

ESERCIZIO 19 Provare che, se s₁s₂¼s_s e t₁t₂¼t_t sono due fattorizzazioni in trasposizioni di una stessa permutazione, allora gli interi s e t hanno la stessa paritá, cioé sono entrambi pari o entrambi dispari.

6.2.3  Gruppi di Permutazioni e Teorema di Cayley

Siano X un insieme non vuoto (finito o infinito) e Symm(X) il gruppo di tutte le permutazioni su X.

DEFINIZIONE 20 Un gruppo G prende il nome gruppo di permutazioni su X se é sottogruppo di Symm(X). ¨

La teoria dei gruppi di permutazioni é equivalente all'intera teoria dei gruppi nel senso precisato dal seguente teorema.

PROPOSIZIONE 21 (teorema di Cayley) Ogni gruppo G é isomorfo ad un gruppo di permutazioni sull'insieme degli elementi di G.

DIMOSTRAZIONE.   Per ogni elemento g Î G, la traslazione destra di ampiezza g

6.2.4  Il gruppo diedrale di grado n

Sia S l'insieme dei punti della retta euclidea R o del piano euclideo R². Una permutazione f sugli elementi di S prende il nome di isometria se conserva la distanza euclidea, cioé se verifica la seguente proprietá:

Esempi di isometrie del piano euclideo sono: le rotazioni intorno ad un punto e le simmetrie ortogonali, o riflessioni, rispetto alle rette.

Se X un sottoinsieme non vuoto di S, un'isometria T di S che trasformi X in se stesso, cioé T(X) = X, si chiama simmetria di X. Le simmetrie di X costituiscono un sottogruppo del gruppo delle isometrie di S, che prende il nome di gruppo delle simmetrie di X e si denota con Isom(X).

Sia P(n) un poligono regolare con n ³ 3 lati. Il gruppo delle simmetrie di P(n) prende il nome di gruppo diedrale di grado n e si denota con D_n. Il gruppo D_n verifica le seguenti proprietá.

· D_n contiene esattamente 2n elementi: 
(i)    le n rotazioni r₀ = 1,r₁,... ,r_n-1 intorno al centro di P(n), ove r_j denota la rotazione di ampiezza [(2p)/n] j . 
(ii)    le riflessioni s₁,s₂,... ,s_n rispetto agli n assi di simmetria di P(n).

· Se denotiamo con Rot una rotazione e con Rif una riflessione, risulta

· Le n rotazioni formano un sottogruppo di D_n (sottogruppo delle rotazioni).

· s_js_j = 1 Þs_j = s_j^-1 Þ{ 1,s_j} é un sottogruppo di D_n.

· r_iⁿ = 1,     (s_is_j)ⁿ = 1,     r_is_j = s_jr_i^-1.

Nella figura   sono rappresentate le rotazioni non banali e le riflessioni di un triangolo equilatero.

ESERCIZIO 22 Provare che S₃ e D₃ sono gruppi isomorfi.

ESERCIZIO 23 Provare che il sottogruppo delle rotazioni di D_n é ciclico, un suo generatore essendo la rotazione r₁.

ESERCIZIO 24 Sia P(n) un poligono regolare con n lati e si fissino due assi di simmetria di P(n) formanti un angolo di [( p)/n]. Denotate con s e s¢ le corrispondenti riflessioni del gruppo diedrale D_n, provare che risulta

Se numeriamo ciclicamente in senso orario i vertici del poligono P(n) con gli interi da 0 ad n-1, ogni elemento g Î D_n, trasformando vertici di P(n) in vertici di P(n), individua una permutazione g' dell' insieme X = { 0,1, ¼,n-1} , cioé un elemento del gruppo Symm(X). L'applicazione

ESERCIZIO 25 Provare che il sottogruppo delle rotazioni di D_n é isomorfo al gruppo additivo degli interi modulo n.

ESERCIZIO 26 Provare che il gruppo diedrale D_n é isomorfo ad un gruppo di permutazioni sui lati del poligono P_n.

6.2.5  Il gruppo diedrale infinito

Consideriamo il gruppo Isom(R) delle isometrie della retta reale, che identifichiamo col campo reale R. Ricordiamo che sono isometrie di R: le traslazioni, e le riflessioni intorno ad un punto.

Se poniamo

Se, per ogni a Î R, poniamo

ESERCIZIO 27 Nel gruppo diedrale infinito D_¥ consideriamo le riflessioni s₀ e s_[1/2] di centro 0 e [1/2], rispettivamente. Provare che risulta

6.2.6  Prodotto diretto esterno di gruppi

Siano G₁,G₂,... ,G_n gruppi. Nel prodotto cartesiano

DEFINIZIONE 28 Il gruppo G si chiama prodotto diretto esterno dei gruppi G₁,G₂,..., G_n e si denota con

¨

ESERCIZIO 29 G = G₁ÅG₂żÅG_n é abeliano se, e soltanto se, G₁,G₂,... ,G_n sono tutti abeliani.

ESERCIZIO 30 Scrivere la tabella di Cayley di Z₂ÅZ₃.

ESERCIZIO 31 Provare che Z₂ÅZ₂ non é isomorfo a Z₄.

ESERCIZIO 32 Sia S un insieme con due elementi e * l'operazione di differenza simmetrica in P(S). Provare che il gruppo (P(S), *) é isomorfo a Z₂ÅZ₂.

6.2.7  Il 4-gruppo di Klein

Sia K = { 1,a,b,c } ove é

In K valgono le seguenti proprietá :

Il 4-gruppo di Klein ha la seguente tabella di Cayley.

ESERCIZIO 33 Provare che K é isomorfo al gruppo delle simmetrie di un rettangolo che non sia un quadrato.

ESERCIZIO 34 Verificare che { 1,a} , { 1,b} , { 1,c} , sono gli unici sottogruppi propri e non banali di K e disegnare il diagramma di Hasse del reticolo dei sottogruppi di K.

ESERCIZIO 35 Provare che K e (Z₄,+) non sono gruppi isomorfi. Provare, inoltre, che un gruppo finito d'ordine 4 é isomorfo a K o a (Z₄,+).

6.2.8  Il gruppo dei quaternioni

Sia Q₂ = { 1,-1,i,-i,j,-j,k,-k } ove é

ESERCIZIO 36 Determinare il periodo di ciascuno degli elementi di Q₂.

6.2.9  L'automorfo di un gruppo

Denotiamo con Aut(G) l'insieme di tutti gli automorfismi di un gruppo G. Sappiamo che il prodotto definito da

OSSERVAZIONE 37 La funzione a ® aⁿ, se G é abeliano, é un automorfismo di G, per ogni intero n ¹ 0. ¨

PROPOSIZIONE 38 La funzione a ® a^-1 é un automorfismo di G se, e soltanto se, G é abeliano.

DIMOSTRAZIONE.   Se la nostra funzione é un automorfismo, per ogni a,b Î G, abbiamo

¨

ESERCIZIO 39 Provare che un gruppo G é abeliano se, e solo se, l' applicazione

6.3  Laterali di un sottogruppo e teorema di Lagrange

Siano G ungruppo e H un suo sottogruppo.

DEFINIZIONE 1 Le due relazioni Â^¢_H e Â^¢¢_H sugli elementi di G definite da

OSSERVAZIONE 2 Nel caso G sia un gruppo additivo, le relazioni Â^¢_H e Â^¢¢_H sono definite rispettivamente da

¨

OSSERVAZIONE 3 Se G é abeliano, le relazioni Â^¢_H e Â^¢¢_H coincidono. ¨

DEFINIZIONE 4 La classe di Â^¢_H-equivalenza di un elemento a, che si vede facilmente essere data da

La classe di Â^¢¢_H-equivalenza di un elemento a, data da

OSSERVAZIONE 5 Osserviamo che H stesso é un suo laterale sinistro, essendo [1]_Â^¢H = 1H = H. Analogamente H é un suo laterale destro, essendo [1]_Â^¢¢H = H1 = H. ¨

OSSERVAZIONE 6 I laterali sinistri (risp. destri) di H in G formano una partizione degli elementi di G. ¨

OSSERVAZIONE 7 Nel caso G sia un gruppo additivo, le (6.8 ) e (6.9) si scrivono rispettivamente

¨

ESEMPIO 8 Con riferimento alla notazione usata nell'esempio  3 , consideriamo il sottogruppo H = { 1,s₁ } di S₃. I laterali sinistri di H in S₃ sono:

ESEMPIO 9 Nel gruppo additivo degli interi (Z,+) si consideri il sottogruppo H = mZ, con m intero maggiore di 1. Allora le relazioni Â^¢_H e Â^¢¢_H coincidono con la congruenza modulo m. ¨

ESERCIZIO 10 Siano H,K due sottogruppi di un gruppo G. Provare che

PROPOSIZIONE 11 Per ogni a Î G, le funzioni (traslazioni ristrette ad H)

DIMOSTRAZIONE.   É lasciata per esercizio al Lettore. ¨

PROPOSIZIONE 12 Gli insiemi quoziente G/Â^¢_H e G/Â^¢¢_H, cioé gli insiemi dei laterali di H rispettivamente sinistri e destri, sono equipotenti.

DIMOSTRAZIONE.   Osserviamo che risulta:

DEFINIZIONE 13 Se l'insieme quoziente G/Â^¢_H (o equivalentemente G/Â^¢¢_H) é finito ed ha ordine n, l'intero n si chiama indice di H in G e si denota con |G : H| o con [G : H]. Se G/Â^¢_H (o equivalentemente G/Â^¢¢_H) é infinito, si dice che H ha indice infinito in G. ¨

Osserviamo che risulta |G : G| = 1 e che |G : 1| é uguale a |G| se G é finito ed é infinito se G é infinito.

ESERCIZIO 14 Siano A un campo e f(x₁,x₂,...,x_n) un polinomio in n indeterminate a coefficienti in A. Detto G_f il gruppo delle simmetrie di f, provare che il numero dei polinomi distinti del tipo

TEOREMA 15 (teorema di Lagrange) Se G é un gruppo finito e H un suo sottogruppo, allora

DIMOSTRAZIONE.   Nelle nostre ipotesi, i laterali sinistri di H formano una partizione di G in blocchi aventi tutti lo stesso ordine |H|. Da questa osservazione segue subito l'asserto. ¨

OSSERVAZIONE 16 Il teorema di Lagrange dice che l'ordine di un sottogruppo di un gruppo finito G é un divisore dell'ordine di G ma, si faccia bene attenzione, non garantisce che un divisore positivo di |G| é l'ordine di un sottogruppo di G. Quest'ultima affermazione é in generale falsa, come mostra l'esercizio . Essa é, peró, vera per il gruppo additivo (Z_n,+) degli interi modulo n (cfr. corollario  33 ) e, come vedremo, per alcune classi speciali di gruppi. ¨

ESERCIZIO 17 Provare che ogni gruppo finito d'ordine primo é ciclico.

ESERCIZIO 18 Provare che un gruppo finito d'ordine dispari non possiede elementi d'ordine pari.

PROPOSIZIONE 19 Se G é finito d'ordine m, allora il periodo di ogni elemento di G divide m. Inoltre risulta a^m = 1, per ogni a Î G.

DIMOSTRAZIONE.   Se a Î G, deve essere | < a > | = n £ m e, per il teorema di Lagrange, m é del tipo m = nq. La restante parte segue dalla prop.5.6. ¨

ESERCIZIO 20 Determinare tutti i sottogruppi del gruppo Q₂ dei quaternioni (cfr. par. 6.2.8).

6.4  Esercizi

1    Posto G = { (a,b) Î R²     :    a ¹ 0 ,  a+b ¹ 0} , si consideri la seguente operazione "*" su G:

2    Provare che U(10) = { 1,3,7,9} e che < 3 > = U(10).

3    Provare che in (Z₁₀,+) risulta < 2 > = { 0,2,4,6,8}.

4    Provare che in (Z,+) risulta < -1 > = Z.

5    Determinare gli interi n per cui (Z^*_n,·) é un gruppo.

6    Si considerino i seguenti gruppi: (Z₁₂,+), U(10), U(12). Per ognuno di essi se ne determini l'ordine e si calcoli l'ordine di ciascuno dei suoi elementi.

7    Determinare i possibili ordini di un gruppo ciclico avente un unico generatore.

8    Siano G un gruppo, H un sottogruppo di G, a un elemento di G di periodo finito n ed m un intero positivo coprimo con n. Usando l'identitá di Bézout,  nell'ipotesi che a^m appartiene ad H, provare che anche a appartiene ad H.

9    Provare che U(14) = < 3 > = < 5 > .

10    Provare che il gruppo U(20) non é ciclico.

11    Nel gruppo SL(2,R) trovare l'ordine dei seguenti elementi:

12    Trovare l'ordine di

13    Provare che

14    Trovare tutti gli elementi dei sottogruppi < 10 > e < 20 > del gruppo additivo Z₃₀.

15    Trovare tutti gli elementi dei sottogruppi < 3 > e < 7 > del gruppo U(20).

16    Sull'insieme S = R^*×R, si definisca la seguente operazione "°":

17    Dimostrare che un gruppo privo di sottogruppi non banali é necessariamente ciclico.

18    Provare che in un gruppo abeliano G tutti gli elementi di periodo finito costituiscono un sottogruppo (il sottogruppo di torsione di G). E' vera questa proprietá in un gruppo non abeliano?

19    Siano G un gruppo e a un suo elemento. Provare che l'insieme di tutti gli elementi di G permutabili con a formano un sottogruppo di G. Tale sottogruppo si chiama centralizzante di a in G e si denota con C_G(a). Provare, inoltre che

20    Si consideri la seguente relazione C_G tra gli elementi di un gruppo G:

21    Sia H un sottogruppo di un gruppo G e, per ogni a Î G, si ponga

22    Provare che nell'insieme L(G) di tutti i sottogruppi di un gruppo G, la relazione G_G definita da

23    Sia G un gruppo. Per ogni due elementi a,b di G si chiama commutatore della coppia (a,b) l'elemento [a,b] di G definito da

24    Siano G un gruppo abeliano e H = { a Î G  :  a² = 1} . Provare che H é un sottogruppo di G.

25    Siano G un gruppo abeliano e H l'insieme dei quadrati di G, cioé H = { a²  :  a Î G} . Provare che H é un sottogruppo di G.

26    Sia R^* il gruppo moltiplicativo dei numeri reali e siano H e K i seguenti sottoinsiemi di R^*:

27    In M₂(Z) si consideri il sottoinsieme

28    In M₂(Z) si consideri il sottoinsieme

29    Sia H un sottogruppo additivo di R e si ponga K = { 2^a  :  a Î H}. Provare che K é un sottogruppo moltiplicativo di R^*.

30    Provare che i sottogruppi di un gruppo G, rispetto alla relazione di inclusione, formano un reticolo (il reticolo dei sottogruppi di G).

31    Si considerino le seguenti funzioni di R in R

32    Siano G il gruppo additivo dei numeri reali e G¢ il gruppo moltiplicativo dei numeri reali positivi. Provare che l'applicazione

33    Verificare se la funzione f(x) = x³ é un automorfismo del gruppo additivo dei numeri reali.

34    Provare che, a meno di isomorfismi, esistono un solo gruppo di ordine 2, un solo gruppo di ordine 3 e due gruppi di ordine 4.

35    Provare che i gruppi Z₄, U(5) e U(10) sono isomorfi.

36    Si ponga

37    Provare che l'insieme

38    Provare che l'insieme

39    Verificare che la funzione f(a+ib) = a-ib é un automorfismo del gruppo additivo e di quello moltiplicativo dei numeri complessi.

40    Provare che i gruppi (Z,+) e (2Z,+) sono isomorfi. Stabilire inoltre se sono isomorfi gli anelli (Z,+,·) e (2Z,+,·).

41    Calcolare il numero dei cicli di lunghezza n in S_n.

42    Dire se le permutazioni (1,3,5)(2,4,5) e (1,4)(2,5)(3,6) sono elementi permutabili di S₆.

43    Calcolare il periodo e le inverse di ciascuna delle seguenti permutazioni:

44    Fattorizzare in cicli disgiunti e calcolare le inverse delle seguenti permutazioni:

45    Calcolare il numero delle trasposizioni di S_n.

46    Fattorizzare in trasposizioni e trovare il segno di ciascuna delle seguenti permutazioni:

47    Consideriamo la prima tabella delle due seguenti, formata da 15 quadrati numerati e da uno spazio libero.

Supponiamo che i quadrati numerati possano scorrere orizzontalmente e verticalmente usando lo spazio libero senza fuoriuscire dalla tabella stessa. Provare che, muovendo i quadrati nel modo anzidetto, non é possibile trasformare la prima tabella nella seconda.

48    Sia G un sottogruppo di S_n. Provare che, se G non é un sottogruppo di A_n, allora metá dei suoi elementi sono permutazioni pari e metá dispari.

49    Nel gruppo additivo Z₅ degli interi modulo 5 si consideri la seguente funzione

50    Provare che, per ogni intero n > 1, il gruppo Isom(R²) contiene un sottogruppo ciclico finito d'ordine n.

51    Provare che, per ogni intero n > 1, il gruppo SO(2) contiene un elemento di periodo n.

52    Sia G il gruppo delle simmetrie di una circonferenza. Provare che, per ogni intero positivo n, G contiene almeno un elemento d'ordine n. Provare inoltre che G contiene elementi d'ordine infinito.

53    Sia G il gruppo delle simmetrie di una circonferenza. Dire se G puó essere pensato come un gruppo di permutazioni sui punti della circonferenza e, in caso di risposta affermativa, verificare se G é transitivo su tali punti.

54    Sia G un sottogruppo di un gruppo diedrale finito e, per ogni s Î G, si ponga

55    Sia G un sottogruppo del gruppo diedrale infinito e, per ogni s Î G, si ponga

56    Provare che i gruppi S₄ e D₁₂ non sono isomorfi.

57    Provare che il gruppo Q₂ dei quaternioni non é isomorfo al gruppo D₄.

58    Sia n un intero maggiore di 2. Provare che nel gruppo ortogonale O(2) il sottogruppo generato dalle due matrici

59    Descrivere il gruppo delle simmetrie di un rettangolo.

60    Determinare esempi di figure geometriche i cui gruppi di simmetrie sono rispettivamente isomorfi ai gruppi additivi di Z₂ e Z₃, ad S₃ ed al 4-gruppo di Klein.

61    Provare che il gruppo diedrale D_n é isomorfo al sottogruppo di GL(2,C) generato dalle due matrici

62    Provare che l'insieme di matrici

63    Provare che la seguente tabella di moltiplicazione definisce un gruppo isomorfo al gruppo Q₂ dei quaternioni

Note:

¹  Notiamo esplicitamente che l'essere H e K permutabili non significa che hk = kh, per ogni h Î H e k Î K.

²  Si noti che abbiamo ottenuto una rappresentazione di D_n come gruppo di permutazioni su un insieme con n elementi mentre la rappresentazione che si ottiene col teorema di Cayley identifica D_n con un gruppo di permutazioni su 2n elementi.

³  Questo problema é legato allo studio delle equazioni algebriche risolubili per radicali ed é proprio in quest'ambito che é nato il concetto di gruppo.