Capitolo 5

Generalitá sulle Strutture Algebriche

5.1  Operazioni su un insieme

Alcuni esempi di operazioni note al Lettore sono i seguenti:

· Addizione e moltiplicazione in N_o, Z, Q, R, C. · Addizione e moltiplicazione in Z_n. · Moltiplicazione in U(n).

· Addizione in uno spazio vettoriale. · Divisione in Q^*, R^*, C^*.

· Addizione in M_m,n(A), A = N_o,Z,R,C.

· Moltiplicazione righe per colonne in M_n(A), A = N_o,Z,R,C.

· Addizione e moltiplicazione nell'insieme dei polinomi a coefficienti in N_o, Z, Q, R, C.

· Massimo comune divisore e minimo comune multiplo in N.

· Unione e intersezione in P(S).

· Differenza simmetrica ¹  in P(S).

· Composizione in Perm(S).

· Moltiplicazione di uno scalare per un vettore in uno spazio vettoriale.

OSSERVAZIONE 1 Tutte le operazioni elencate si presentano come delle leggi che permettono di individuare un elemento di un insieme a partire da una coppia elementi assegnati. E' pertanto ragionevole pensare che la nozione di operazione possa generalizzarsi ed esprimersi in termini precisi nel linguaggio della teoria degli insiemi. E' appunto ció che ci proponiamo di fare in questo paragrafo. ¨

Nel seguito del capitolo S denoterá sempre un insieme non vuoto.

DEFINIZIONE 2 Un'applicazione di S×S in S prende il nome di operazione interna ad S. Assegnata un'operazione *   :   S×S® S, si pone

Le notazioni piú usate per le operazioni sono

· la notazione additiva: si usa il segno "+" e il composto di due elementi a,b si denota con a+b;

· la notazione moltiplicativa: si usa il segno "·" o "×" e il composto di due elementi a,b si denota con a·b o a×b, o anche con ab;

· la notazione esponenziale: il composto di due elementi a,b si denota con a^b.

DEFINIZIONE 3 Sia A un insieme non vuoto, A ¹ S. Un'applicazione di A×S in S prende il nome di operazione esterna ad S con dominio di operatori A. ¨

Per le operazioni esterne si usano la simbologia e la terminologia introdotte per quelle interne. Un esempio di operazione esterna familiare al Lettore é, per esempio, la moltiplicazione di uno scalare per un vettore in uno spazio vettoriale.

DEFINIZIONE 4 Si chiama struttura algebrica ad n operazioni su S ogni (n+1)-pla del tipo

ESEMPI 5 Di seguito riportiamo alcuni esempi di strutture algebriche. Questi, tra l'altro, mostrano che uno stesso insieme S puó essere sostegno di strutture algebriche diverse.

· (N_o,+), (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+).

· (N_o,·), (Z,·), (Q,·), (R,·), (C,·).

· (N_o,+,·), (Z,+,·), (Q,+,·), (R,+,·), (C,+,·).

· (Z[x],+,·), (Q[x],+,·), (R[x],+,·), (C[x],+,·).

· (Z_n,+), (Z_n,·), (Z_n,+,·), (U(n),·).

· (P(S),Ç), (P(S),È), (P(S),È,Ç).

· (S,Ù), (S,Ú), (S,Ù,Ú), ove (S, £ ) é un reticolo. ¨

Indicate con · e * operazioni interne ad S, si definiscono le seguenti proprietá:

· Proprietá commutativa:

· Proprietá associativa:

· Proprietá distributiva (a destra) di · rispetto a *:

ESERCIZIO 6 Verificare che su un insieme con un solo elemento si puó definire un'unica operazione e che questa risulta commutativa e associativa.

DEFINIZIONE 7 Sia (S,·) una struttura algebrica con operazione interna. Un elemento u Î S si dice neutro se

ESERCIZIO 8 Provare che, se (S,·) possiede un elemento neutro, questo é unico.

DEFINIZIONE 9 In notazione moltiplicativa l'elemento neutro si chiama unitá e si denota con 1. In notazione additiva l'elemento neutro si chiama zero e si denota con 0. ¨

ESEMPI 10
· (A,+), A = N_o,Z,Q,R,C,Z_n, ha 0 come elemento neutro.

· (A^*,·), A = N_o,Z,Q,R,C,Z_n, ha 1 come elemento neutro.

· Sia / l'operazione di divisione in Q^*. (Q^*,/) (struttura non associativa e non commutativa) non possiede elemento neutro.

· (P(S),Ç) ha S come l'elemento neutro.

· (P(S),È) ha Æ come l'elemento neutro. ¨

ESERCIZIO 11 Sia (S, £ ) un reticolo. Dire sotto quali condizioni (S, Ù) e (S,Ú) posseggono l'elemento neutro.

DEFINIZIONE 12 Sia (S,·) una struttura algebrica dotata di elemento neutro u. Un elemento a Î S si dice simmetrizzabile se esiste a¢ Î S tale che

OSSERVAZIONE 13 In una una struttura algebrica (S,·) dotata di elemento neutro u si ha:

· a¢ simmetrico di a Û a simmetrico di a¢.

· L'elemento neutro u é simmetrizzabile e si ha u¢ = u.

DEFINIZIONE 14 Nella notazione moltiplicativa il simmetrico di un elemento a si chiama inverso di a e si denota con a^-1. Nella notazione additiva il simmetrico di a si chiama opposto di a e si denota con -a. ¨

ESEMPI 15
· In (Z,+), (Z_n,+), (Q,+), (R,+), (C,+) tutti gli elementi sono simmetrizzabili.

· In (Z,·), 1 e -1 sono gli unici elementi simmetrizzabili.

· In (Q^*,·), (R^*,·), (C^*,·) tutti gli elementi sono simmetrizzabili.

· In (Z[x],+ ), (Q[x],+ ), (R[x],+ ), (C[x],+ ) tutti gli elementi sono simmetrizzabili.

· Una matrice A appartenente a (M_n(Q), ·), o (M_n(R), ·) o (M_n(C), ·) é simmetrizzabile se, e solo se, det(A) ¹ 0. ¨

ESERCIZIO 16 Provare che una matrice A in (M₂(Z),·) é simmetrizzabile se, e solo se, det(A) = ±1.

DEFINIZIONE 17 Sia (S,·) una struttura algebrica con operazione interna. Un sottoinsieme non vuoto X di S si dice parte stabile se:

¨

Quando X é una parte stabile, la restrizione dell'operazione "·" a X×X é una operazione interna ad X; abbiamo cosí una nuova struttura algebrica (X,·), che si dice indotta su X da (S,·). In questo passaggio si conservano, per esempio, la proprietá associativa e quella commutativa.

DEFINIZIONE 18 Sia (S,·) una struttura algebrica con operazione esterna e dominio di operatori A. Un sottoinsieme non vuoto X di S si dice parte stabile se:

¨

Anche in questo caso abbiamo una struttura indotta (X,·). La definizione di parte stabile si generalizza in modo ovvio al caso di strutture algebriche con piú operazioni.

ESEMPI 19
· L'insieme degli interi pari é stabile in (Z,+,·).

· L'insieme degli interi dispari non é stabile in (Z,+) e in (Z,+,·).

· L'insieme nZ costituito dai multipli di un fissato intero n ¹ 0 é una parte stabile in (Z,+,·).

· Gli insiemi { 0,1} e { 0,1,-1} sono stabili in (Z,·) ma non sono stabili in (Z,+).

· Z é stabile in (Q,+,·). Q é stabile in (R,+,·). R é stabile in (C,+,·).

· I numeri complessi di modulo 1 sono una parte stabile di (C,·) ma non sono una parte stabile di (C,+).

· Le matrici diagonali d'ordine n sono una parte stabile dell'anello M_n(F), F = Q,R,C.

· Le matrici scalari d'ordine n sono una parte stabile dell'anello M_n(F), F = Q,R,C. ¨

ESERCIZIO 20 L'intersezione di una famiglia di parti stabili, se non é vuota, é ancora una parte stabile.

OSSERVAZIONE 21 L'unione di parti stabili non é in generale una parte stabile. ¨

DEFINIZIONE 22 Sia X un insieme di elementi di una struttura algebrica. L'intersezione di tutte le parti stabili contenenti X prende il nome di parte stabile generata da X e si denota con st(X). ¨

ESERCIZIO 23 Sia X un insieme di elementi di una struttura algebrica di sostegno S. Provare che un sottoinsieme Y di S é la parte stabile generata da X se, e solo se, valgono le seguenti due proprietá:

· Y é una parte stabile contenente X;

· Y é contenuto in ogni parte stabile che contenga X.

Ne segue che st(X) é la minima parte stabile, rispetto all'inclusione, di S contenente X.

DEFINIZIONE 24 Sia X un insieme non vuoto di elementi di una struttura algebrica S. Se la parte stabile generata da X coincide con S, si dice che X é un generatore di S, o anche che X genera S. ¨

ESEMPIO 25 Siano a,b due interi distinti e non nulli. In (Z,+) risulta: · st(a) = { na   :   n Î Z⁺ } · st(a,b) = { na+mb   :   n,m Î Z }. ¨

ESEMPIO 26 Siano X,Y sottoinsiemi non vuoti e distinti di S. In (P(S),Ç) risulta: · st(X,Y) = { X , Y , XÇY}. ¨

5.2  Semigruppi

DEFINIZIONE 1 Una struttura algebrica (S,·), con operazione interna, si chiama semigruppo se l'operazione · é associativa. Se · é anche commutativa, il semigruppo si dice commutativo o abeliano. ¨

ESEMPI 2 Le strutture sottoelencate sono esempi di semigruppi.

· (N_o,+), (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+), (Z_n,+) .

· (N_o,·), (Z,·), (Q,·), (R,·), (C,·), (Z_n,·), (U(n),·).

· (Z[x],+ ), (Q[x],+ ), (R[x],+ ), (C[x],+ ).

· (Z[x],·), (Q[x],·), (R[x],·), (C[x],·).

· (P(S),Ç), (P(S),È). ¨

PROPOSIZIONE 3 Sia (S,·) un semigruppo e X un insieme non vuoto di elementi di S. Allora risulta

DIMOSTRAZIONE.   L'asserto segue dal fatto che l'insieme

PROPOSIZIONE 4 In un semigruppo (S,·) con elemento neutro valgono le seguenti proprietá: · a simmetrizzabile Þ a ha un unico simmetrico; · a simmetrizzabile e tale che a·b = b·a Þ a¢·b = b·a¢.

DIMOSTRAZIONE.   É lasciata per esercizio al Lettore. ¨

ESERCIZIO 5 Siano a,b elementi simmetrizzabili di un semigruppo unitario (S,·). Provare che a·b é simmetrizzabile e

ESERCIZIO 6 Sull'insieme S = R³ si consideri l'operazione "·" definita da

DEFINIZIONE 7 Sia (S,·) una struttura algebrica con operazione interna. Un elemento a si dice cancellabile a sinistra (a destra) se:

PROPOSIZIONE 8 Sia (S,·) un semigruppo unitario. Allora ogni suo elemento simmetrizzabile é regolare.

DIMOSTRAZIONE.   Siano u l'unitá del semigruppo, a un elemento simmetrizzabile e a¢ il suo simmetrico. Se, per due elementi b,c Î S, risulta

ESERCIZIO 9 Provare che un elemento a Î Z_n^* che non sia invertibile non é cancellabile.

DEFINIZIONE 10 Sia (S,·) una struttura algebrica con operazione interna. Due elementi a,b di S si dicono permutabili se

OSSERVAZIONI 11 Valgono le seguenti proprietá:

· Ogni elemento é permutabile con se stesso.

· S = Z(S) se, e solo se, l'operazione · é commutativa.

· Se (S,·) é un semigruppo si ha:

              (1) a,b permutabili con c Þ a·b permutabile con c;

              (2) Se Z(S) é non vuoto, allora: a,b Î Z(S)  Þ a·b Î Z(S). ¨

5.3  Una tabella riassuntiva

Nella tabella che segue riassumiamo alcune proprietá delle operazioni piú usate.

5.4  Isomorfismi

ESEMPIO 1 Consideriamo le operazioni     · ,+ , *     rispettivamente su

E' evidente che, a meno dei nomi dati alle tre operazioni e agli elementi dei tre insiemi, le strutture considerate sono la stessa struttura; esse sono cioé algebricamente equivalenti o, come usualmente si dice, isomorfe. Per esempio possiamo identificare la seconda e la terza ponendo:

Nasce, cosí , l'esigenza di definire rigorosamente le situazioni che permettono di ritenere algebricamente equivalenti due strutture algebriche. Ció si puó fare introducendo il concetto di isomorfismo. ¨

DEFINIZIONE 2 Siano (S,·₁ ) e (S¢,·₂ ) strutture algebriche con operazioni interne. Una applicazione biunivoca f: S® S¢ si dice isomorfismo se

¨

DEFINIZIONE 3 Siano (S,·₁ ) e (S¢,·₂ ) strutture algebriche con operazioni esterne aventi lo stesso dominio di operatori A. Un'applicazione biunivoca f: S® S¢ si dice isomorfismo se

¨

DEFINIZIONE 4 Un isomorfismo fra due strutture algebriche ad n operazioni

Riportiamo di seguito alcune proprietá degli isomorfismi di facile dimostrazione:

· L'identitá é un isomorfismo di ogni struttura algebrica in se stessa.

· f isomorfismo Þ f^-1 isomorfismo (l'inverso di f).

· S₁ ® S₂ ® S₃, f,g isomorfismi Þ S₁ ® S₃ isomorfismo.

· La relazione di isomorfismo fra strutture algebriche é di equivalenza.

OSSERVAZIONE 5 Dal punto di vista algebrico due strutture isomorfe possono considerarsi equivalenti. Questo fatto si esprime dicendo che lo studio delle strutture algebriche si fa a meno di isomorfismi. ¨

ESEMPIO 6 Si considerino le strutture algebriche (R⁺,·), ove R⁺ denota l'insieme dei numeri reali positivi, e (R,+). E' noto che la funzione logaritmo

ESEMPIO 7 Sia S = { 1,2,3,...,n} e, per ogni sottoinsieme A di S, si definisca la funzione caratteristica f_A di A nel seguente modo:

5.5  Morfismi

Le definizioni che seguono introducono una importante generalizzazione del concetto di isomorfismo.

DEFINIZIONE 1 Siano (S₁,·) e (S₂,*) due strutture algebriche con operazioni interne. Un'applicazione f: S₁® S₂ si chiama morfismo o omomorfismo se:

¨

DEFINIZIONE 2 Siano (S₁,·) e (S₂,*) strutture algebriche con operazioni esterne aventi lo stesso dominio di operatori A. Una applicazione f: S₁® S₂ si chiama morfismo se:

¨

DEFINIZIONE 3 Un morfismo fra due strutture

OSSERVAZIONE 4 Un morfismo biettivo é un isomorfismo. La nozione di morfismo é dunque una generalizzazione di quella di isomorfismo. Essa é molto utile perché due strutture non isomorfe possono essere legate tra loro da un morfismo e, come vedremo, vi sono proprietá delle strutture algebriche che sono conservate dai morfismi. ¨

DEFINIZIONE 5 Un morfismo f si dice monomorfismo se é iniettivo, epimorfismo se é suriettivo.¨

ESERCIZIO 6 Siano S₁ = (S₁,·) e S₂ = (S₂,*) due strutture algebriche con operazioni interne e f: S₁® S₂ un monomorfismo. Provare che f(S₁) é una parte stabile di (S₂,*). Provare inoltre che la restrizione f: S₁® f(S₁) é un isomorfismo fra (S₁,·) e la struttura algebrica indotta da (S₂,*) su f(S₁).

ESERCIZIO 7 Provare le seguenti implicazioni:

· S₁ ® S₂ ® S₃, f,g morfismi Þ S₁ ® S₃ morfismo.

· S₁ ® S₂, f morfismo, X parte stabile di S₁ Þ f(X) parte stabile di S₂.

ESEMPI 8
· Le applicazioni a Î N® a Î Z, a Î Z® a Î Q, a Î Q® a Î R, a Î R® a Î C sono morfismi rispetto alle operazioni + e ·.

· L'applicazione m Î Z® [m] Î Z_n é un morfismo rispetto alle operazioni + e ·.

· L'applicazione A Î M_n(K)® det(A) Î K, K = Q,R,C, é un morfismo fra (M_n(K),·) e (K,·). ¨

ESEMPIO 9 Siano V e W spazi vettoriali su un campo F. Allora ogni applicazione lineare fra V e W é un omomorfismo fra i gruppi additivi di V e W. ¨

DEFINIZIONE 10 Un morfismo di una struttura algebrica S in se stessa si chiama endomorfismo di S. Un isomorfismo di una struttura algebrica in se stessa si chiama automorfismo di S. ¨

5.6  Gruppi e primi esempi

DEFINIZIONE 1 Una struttura algebrica (S,·) si chiama gruppo se é un semigruppo con elemento neutro e con tutti gli elementi simmetrizzabili. In altre parole (S,·) é un gruppo se sono verificate le seguenti proprietá:

1. l'operazione · é associativa;

2. esiste l'elemento neutro u;

3. ogni elemento di S é simmetrizzabile.

Se l'operazione · é commutativa il gruppo si dice commutativo o abeliano. ¨

Un gruppo si dice moltiplicativo (risp. additivo) se per la sua operazione si usa la notazione moltiplicativa (risp. additiva). Richiamiamo esplicitamente l'attenzione del Lettore sul fatto che la scelta della notazione per l'operazione di un gruppo é ininfluente sulle proprietá algebriche del gruppo stesso.

ESEMPI 2 Le strutture sottoelencate sono esempi di gruppi.

· (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+), (Z_n,+) (gruppi additivi di Z, Q, R, C, Z_n).

· (nZ,+), con n Î Z e nZ = { nz    :   z Î Z } .

· (Q^*,·), (R^*,·), (C^*,·), (U(n),·), (Z_p^*,·)  p primo (gruppi moltiplicativi di Z, Q, R, C, Z_p).

· (Z[x],+ ), (Q[x],+ ), (R[x],+ ), (C[x],+ ) (gruppi additivi di Z[x], Q[x], R[x], C[x], Z_n[x]).

· (M_m,n(A),+), con A = Z,Q,R,C (gruppo additivo di M_m,n(A)).

· (GL(n,F),·), con F = Q,R,C e GL(n,F): = insieme delle matrici quadrate ad elementi in F con determinante non nullo (gruppo lineare (generale)).

· (SL(n,F),·), con F = Q,R,C e GL(n,F): = insieme delle matrici quadrate ad elementi in F con determinante 1 (gruppo lineare speciale).

· (P(S),*), ove * é l'operazione di differenza simmetrica nell'insieme delle parti di un insieme non vuoto S.

· (G_n,·), con G_n = { z Î C   :    zⁿ = 1} (il gruppo delle radici n-esime dell'unitá di C ). ¨

ESERCIZIO 3 Provare che un numero complesso a é una radice n-esima dell'unitá di C se, e solo se, é del tipo a = cos( 2^m/_np)+i sen(2^m/_np) , con m Î Z.

ESEMPIO 4 Sia V uno spazio vettoriale su un campo F, per esempio F = Q,R,C. Allora V, rispetto all'addizione fra vettori, é un gruppo abeliano, detto gruppo additivo di V. ¨

ESERCIZIO 5 Provare che l'insieme Aut(S) degli automorfismi di una struttura algebrica S é un gruppo rispetto al prodotto tra funzioni (il gruppo degli automorfismi di S ).

Nel seguito, tranne esplicito avviso, G = (G,·) denoterá sempre un gruppo moltiplicativo. Sará un utile esercizio per il Lettore trovare l'analogo nella notazione additiva di tutti i concetti che si daranno in notazione moltiplicativa.

ESERCIZIO 6 Siano a,b elementi di un gruppo G. Provare che ciascuna delle equazioni ax = b e xa = b ammette un'unica soluzione in G.

DEFINIZIONE 7 Si chiama potenza n-esima di un elemento a Î G, e si denota con aⁿ, l'elemento di G definito per ricorrenza da 

· per n ³ 0:

· per n < 0:

¨

OSSERVAZIONE 8 Sono verificate le seguenti proprietá, per ogni a,b Î G.

  · a^maⁿ = a^m+n = aⁿa^m.

· ab = ba Þ (ab)ⁿ = aⁿbⁿ. ¨

ESERCIZIO 9 Trovare quattro matrici quadrate A,B,C,D in GL(2,Q) tali che (AB)² ¹ A²B² e (CD)² = C²D².

DEFINIZIONE 10 Sia a un elemento di G. Se esiste un intero m ¹ 0 tale che a^m = 1 si dice che a é periodico o che ha ordine finito. In questo caso, il piú piccolo intero positivo n tale che aⁿ = 1 si chiama ordine o periodo di a e si denota con |a| o con o(a). Se per ogni intero positivo m risulta a^m ¹ 1 si dice che a é aperiodico o che ha ordine infinito. ¨

ESERCIZIO 11 Provare che un gruppo finito G d'ordine pari contiene almeno un elemento di periodo due.

SOLUZIONE.   Osserviamo che un elemento a Î G\{ 1} ha periodo due se, e solo se, a = a^-1 e che gli elementi b di G\{ 1} per cui é b ¹ b^-1 sono in numero pari; deve, dunque, esistere in G almeno un elemento di periodo due. ¨

PROPOSIZIONE 12 Siano a un elemento di un gruppo G di periodo n ed m un intero positivo. Allora risulta a^m = 1 se, e solo se, m é un multiplo di n.

DIMOSTRAZIONE.   Se é m = hn, risulta

OSSERVAZIONE 13 L'unitá é l'unico elemento di un gruppo di periodo 1. ¨

ESERCIZIO 14 L'analogo additivo del concetto di potenza n-sima di un elemento a si chiama multiplo di a secondo l'intero n e si denota con na. Definire i multipli in un gruppo additivo e studiarne le prime proprietá. Definire l'ordine di un elemento di un gruppo additivo.

ESERCIZIO 15 Siano n > 1 ed h\not º 0 (mod n) due interi. Allora il periodo di h nel gruppo additivo (Z_n,+) degli interi modulo n é uguale a [n/MCD(n,h)] . In particolare, h ha ordine n se, e solo se, n ed h sono coprimi.
SOLUZIONE.   Poniamo k = [n/MCD(n,h)] .
Se n ed h sono coprimi, cioé k = n , h ha periodo n in (Z_n,+) perché nessuno degli interi

ESEMPI 16
· In (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+) ogni elemento diverso da zero ha ordine infinito.

· In (Q^*,·),(R^*,·) ogni elemento diverso da 1 e -1 ha ordine infinito e risulta o(-1) = 2.

· In (C^*,·) un elemento diverso da 1 ha periodo finito se, e solo se, é una radice n-esima dell'unitá, per qualche intero n > 1. Ne segue che gli elementi di periodo finito sono tutti e soli quelli del tipo

ESERCIZIO 17 Sia a = cos( 2^m/_np)+i sen(2^m/_np) una radice n-esima dell'unitá sul campo complesso C. Provare che a é una radice primitiva se, e solo se, m ed n sono coprimi.

DEFINIZIONE 18 Un gruppo G si dice periodico, o di torsione, se ogni suo elemento é periodico. G si dice aperiodico, o senza torsione, se ogni suo elemento diverso da 1 é aperiodico. G si dice misto se possiede sia elementi periodici diversi da 1 che elementi aperiodici. ¨

ESEMPI 19
· I gruppi finiti sono periodici.

· I gruppi (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+) sono aperiodici.

· I gruppi (Q^*,·), (R^*,·), (C^*,·) sono misti. ¨

PROPOSIZIONE 20 In un gruppo ogni elemento é regolare, cioé in esso vale la legge di cancellazione.

DIMOSTRAZIONE.   É una conseguenza immediata della prop. 8 . ¨

PROPOSIZIONE 21 Sia G un gruppo tale che a² = 1, per ogni a Î G. Allora G é abeliano.

DIMOSTRAZIONE.   Se a,b Î G, abbiamo

ESERCIZIO 22 Provare che un gruppo G é abeliano se, e solo se, risulta

ESERCIZIO 23 Provare che un gruppo G é abeliano se, e solo se, risulta

ESERCIZIO 24 Siano G un gruppo ed a un suo elemento di periodo 2. Provare che bab^-1 ha periodo 2, per ogni b Î G. Dedurne che, se a é l'unico elemento di G di periodo 2, allora a é un elemento centrale in G.

ESERCIZIO 25 Sia K un campo. Provare che il centro del gruppo GL(n,K) é l'insieme delle matrici scalari non nulle di ordine n.

DEFINIZIONE 26 Siano G un gruppo e a un suo elemento. L'applicazione

ESERCIZIO 27 Provare che, se t_a^s = t_a^d per ogni elemento a di un gruppo G, allora G é abeliano.

PROPOSIZIONE 28 Ogni traslazione sinistra (destra) di un gruppo G é una permutazione dell'insieme degli elementi di G.

DIMOSTRAZIONE.   Sia a Î G e si supponga t_a^s(x) = t_a^s(y), con x,y Î G. Allora risulta ax = ay e, per la legge di cancellazione, x = y; cioé t_a^s é iniettiva. Inoltre, per ogni y Î G, risulta t_a^s(a^-1y) = y; cosí t_a^s é anche suriettiva e quindi biunivoca. ¨

5.7  Anelli, corpi, campi e primi esempi

DEFINIZIONE 1 Una struttura algebrica con due operazioni interne (addizione e moltiplicazione) A = (A,+,·) si chiama anello se sono verificate le seguenti proprietá:

1. (A,+) é un gruppo abeliano,

2. (A, ·) é un semigruppo,

3. la moltiplicazione é distributiva rispetto all'addizione.

L'anello A si dice commutativo se la moltiplicazione é commutativa, si dice unitario se la moltiplicazione ammette elemento neutro 1. ¨

ESEMPI 2
· (Z,+,·), (Z_n,+,·) sono anelli commutativi unitari.

· (Q,+,·), (R,+,·), (C,+,·) sono anelli commutativi unitari.

· (Z[x],+,·), (Q[x],+,·), (R[x],+,·), (C[x],+,·) sono anelli commutativi unitari.

· (M_n(Z),+,·), (M_n(Z_m),+,·), (M_n(Q),+,·), (M_n(R),+,·), (M_n(C),+,·) sono anelli unitari non commutativi.

· (2Z,+,·) é un anello commutativo privo di unitá. ¨

OSSERVAZIONE 3 In un anello (A,+,·) valgono le seguenti proprietá, per ogni a,b,c Î A e n Î Z.

· a0 = 0a = 0,

· a(-b) = (-a)b = -ab,

· (-a)(-b) = ab,

· (na)b = a(nb) = n(ab),

· a(b-c) = ab-ac    e    (b-a)c = bc-ac. ¨

OSSERVAZIONE 4 Se in un anello unitario A risulta 1 = 0, abbiamo:

Nel seguito A denoterá un anello che, tranne esplicito avviso, supporremo sempre non nullo.

DEFINIZIONE 5 Sia a Î A con a ¹ 0. L'elemento a si dice divisore sinistro (destro) dello zero se esiste in A un elemento b ¹ 0 tale che ab = 0 (ba = 0.) L'elemento a si dice divisore dello zero se é divisore sia sinistro che destro dello zero. ¨

ESERCIZIO 6 Provare che in un anello esiste un divisore sinistro dello zero se, e solo se, esiste un divisore destro dello zero.

DEFINIZIONE 7 Un elemento a Î A si dice nilpotente se esiste un intero positivo n tale che aⁿ = 0. ¨

OSSERVAZIONE 8 Un elemento nilpotente a di un anello é anche un divisore sinistro dello zero. Possono peró esistere elementi non nilpotenti che sono divisori sinistri dello zero. Ad esempio, per l'elemento 3 Î Z₂₁, abbiamo 3·7 = 0 e 3ⁿ ¹ 0 per ogni intero positivo n. ¨

DEFINIZIONE 9 Un anello non nullo privo di divisori sinistri dello zero si chiama anello integro. Un anello integro commutativo si chiama dominio di integritá. ¨

DEFINIZIONE 10 Sia A unitario. Un elemento a Î A si dice invertibile se é tale nel semigruppo (A,·). ¨

OSSERVAZIONE 11 L'insieme degli elementi invertibili di un anello unitario A si denota con U(A) ed é un gruppo rispetto alla moltiplicazione. In particolare é un gruppo moltiplicativo l'insieme U(n) degli elementi invertibili di Z_n. ¨

DEFINIZIONE 12 Un anello unitario A si chiama corpo se é non nullo e ogni suo elemento non nullo é invertibile, cioé se U(A) = A\{ 0} . Un corpo commutativo si chiama campo. ¨

ESEMPIO 13 Le strutture algebriche (Q,+,·), (R,+,·), (C,+,·) e (Z_p,+,·), con p primo, sono esempi di campi. Daremo nel seguito (cfr.) un esempio di corpo (non commutativo).

Riportiamo senza dimostrazione il seguente importante teorema.

TEOREMA 14 (teorema di Wedderburn) Ogni corpo finito é un campo.

DEFINIZIONE 15 Sia A un anello per cui non esiste alcun intero positivo n tale che na = 0, per ogni elemento a di A. Allora si dice che A ha caratteristica zero. Nel caso contrario, il minimo intero positivo c per cui ca = 0, per ogni elemento a di A, prende il nome di caratteristica di A. ¨

OSSERVAZIONE 16 L'anello nullo é l'unico anello di caratteristica 1. ¨

ESERCIZIO 17 Provare che:
· Z, Q, R, C, hanno caratteristica zero; 
· Z_m ha caratteristica m; 
· M_n(A), A = Z,Q,R,C,Z_m, ha la stessa caratteristica di A; 
· A[x], A = Z,Q,R,C,Z_m, ha la stessa caratteristica di A.

ESERCIZIO 18 Sia K un campo. Provare che l'insieme M_n(K) delle matrici quadrate d'ordine n su K é un anello commutativo unitario rispetto alle operazioni di addizione e di moltiplicazione righe per colonne. Provare, inoltre, che M_n(K) ha la stessa caratteristica di K.

5.8  Esercizi

1    Portare in forma additiva le seguenti espressioni moltiplicative:

2    Sia B una matrice sui reali di tipo m×n, con m ¹ n, tal che B^tB sia invertibile (B^t denota la trasposta di B). Posto A = B(B^tB)^-1B^t, provare che risulta A² = A.

3    Verificare che in Z l'operazione di sottrazione non é associativa.

4    In N_o si consideri la seguente operazione

5    Completare la seguente talella di Cayley in modo che essa definisca una operazione associativa sull'insieme { a,b,c,d} .

6    Provare che le operazioni definite sull'insieme { a,b} dalle seguenti tabelle di Caley individuano due strutture algebriche isomorfe.

7    Sia

8    Nell'insieme R\{ 1} si consideri la seguente operazione

9    Nell'insieme R si consideri la seguente operazione

10    Nell'insieme R si consideri la seguente operazione

11    Nell'insieme Q⁺ dei numeri razionali positivi si consideri la seguente operazione

12    Provare che l'insieme dei numeri razionali del tipo 3^m6ⁿ, ove m ed n sono interi, é un gruppo rispetto alla moltiplicazione.

13    Su R^* = R\{ 0} si consideri l'operazione "·" definita da

 Figura 5.3: K.Heisemberg (1901-1976)

14    Provare che le matrici a coefficienti reali del tipo

15    Provare che le matrici a coefficienti in Z₃ del tipo

16    Sia S l'insieme delle matrici reali del tipo

17    Sia G l'insieme delle seguenti funzioni di R\{ 0,1} in se stesso:

18    Siano a,b elementi di un gruppo G ed n un intero. Provare che risulta

19    Una matrice quadrata A d'ordine n i cui elementi appartengono ad un insieme X con n elementi si dice quadrato latino se ogni elemento di X compare esattamente una volta in ogni riga e colonna di A. Per esempio la matrice

20    Calcolare l'inverso di abc, ove a,b,c sono elementi di un gruppo. Stabilire poi se, e quando, é vera la relazione (abc)^-1 = a^-1b^-1c^-1.

21    Siano a,b,c elementi di un gruppo. Risolvere le seguenti equazioni in x:

22    Trovare esempi di anelli contenenti elementi a,b diversi da zero tali che ab = 0.

23    Provare che in un anello commutativo unitario vale la formula di Newton del binomio, cioé che, per ogni intero non negativo n e per ogni a,b Î A, risulta

24    Provare che gli elementi invertibili dell'anello M₂(Z) sono tutti e soli quelli con determinante uguale a ±1.

Note:

¹  Si chiama differenza simmetrica di due insiemi A e B l'insieme A*B = (AÈB)\(AÇB).

²  Un insieme é infinito se puó essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio.