CAPITOLO  1

Preliminari e Richiami

1.1  Alcune notazioni standard

Nel seguito riterremo che il Lettore abbia familiaritá con il linguaggio ed i primi elementi della teoria elementare degli insiemi e che conosca le proprietá elementari dei numeri naturali, degli interi relativi, dei numeri reali e complessi e dei polinomi. Supporremo, in particolare, noti i concetti di insieme e di elemento di un insieme.

Ricordiamo le seguenti notazioni standard che useremo sempre nel seguito senza richiamarle esplicitamente.

· a Î A indica che a é un elemento dell'insieme A;

· a Ï A indica che a non é un elemento dell'insieme A ¹; 

· Æ : = insieme vuoto ² .

Se A e B sono insiemi, poniamo:

· A Í B, B Ê A Û A é sottoinsieme di B;

· A Ì B, B É A Û A é sottoinsieme di B e non é uguale a B (sottoinsieme proprio);

· AÈB : = { x    :    x Î A    o     x Î B} ³ (unione di A e B); 

· AÇB : = { x    :    x Î A    e     x Î B} (intersezione di A e B); 

· A\B : = { x    :    x Î A     e     x Ï B } (differenza fra A e B); 

· A×B : = { (a,b)   :   a Î A, b Î B } (prodotto cartesiano di A e B); 

· A₁×A₂×A₃ ×¼×A_n : = { (a₁,a₂,a₃,... ,a_n)   :   a_i Î A_i, i = 1,2,...,n } (prodotto cartesiano degli insiemi A₁,A₂,A₃,¼,A_n); 

· Aⁿ : = { (a₁,a₂,a₃,... ,a_n)   :   a_i Î A, i = 1,2,...,n } (prodotto cartesiano di n copie di A); 

· P(A): = { X     :     X Í A } (insieme delle parti di A). 

DEFINIZIONE 1 Due insiemi A,B si dicono uguali, e si scrive A = B, se risulta A Í B e B Í A. ¨

OSSERVAZIONE 2 In virtú della precedente definizione, se si vuole verificare che due insiemi A e B sono uguali bisogna provare che ogni elemento di A é un elemento di B e che ogni elemento di B é un elemento di A. ¨

Poniamo, inoltre,

· N_o: = insieme dei numeri naturali (compreso lo zero);

· N: = insieme dei numeri naturali diversi da zero;

· Z: = insieme dei numeri interi (relativi);

· Q: = insieme dei numeri razionali;

· R: = insieme dei numeri reali;

· C: = insieme dei numeri complessi;

· A^* : = A\{ 0}, A = Z,Q,R,C;

· A[x] : = insieme dei polinomi nell'indeterminata x a coefficienti in A, A = N_o, Z, Q, R, C;

· M_m,n(A) : = insieme delle matrici di tipo m×n ad elementi in A, A = N_o, Z, Q, R, C;

· M_n(A) : = insieme delle matrici quadrate d'ordine n ad elementi in A, A = N_o, Z, Q, R, C.

ESERCIZIO 3 Siano A,B,C insiemi. Provare che valgono le seguenti proprietá:

· AÈA = A , AÇA = A;

· AÈB = BÈA , AÇB = BÇA;

· (AÈB)ÈC = AÈ(BÈC) , (AÇB)ÇC = AÇ(BÇC);

· (AÈB)ÇC = (AÇC)È(BÇC) , (AÇB)ÈC = (AÈC)Ç(BÈC).

1.2  Richiami sulle funzioni

Una funzione, o applicazione, é una terna (A,B,f), ove A e B sono insiemi non vuoti ed f una legge che ad ogni elemento a di A fa corrispondere un ben preciso elemento f(a) di B. L'elemento f(a) si chiama corrispondente, o immagine, di a in f; gli insiemi A,B si chiamano rispettivamente insieme di definizione, o dominio, e codominio della funzione. Quando é assegnata una funzione (A,B,f) si dice anche che é assegnata una funzione f di A in B, o fra A e B, e ció si esprime mediante una delle seguenti notazioni:

f    :    A  ®  B       ,      x Î A  ®  f(x) Î B  .

Una funzione, dunque, é caratterizzata da tre oggetti: il dominio, il codominio e la legge di associazione f; variando uno di questi tre oggetti, cambia la funzione. Ció nonostante, con abuso di notazione, la funzione (A,B,f) si denota spesso soltanto con il simbolo f, sottointentendo il dominio e il codominio.

Nel seguito, se non vi é possibilitá di equivoci, quando diremo che é assegnata una funzione fra due insiemi sottointenderemo sempre che questi siano non vuoti.

DEFINIZIONE 1 Assegnati una funzione f : A ® B, un sottoinsieme X di A ed uno Y di B, il sottoinsieme f(X) di B definito da

¨

ESERCIZIO 2 Sia    f  :  A   ®   B una funzione e X,Y sottoinsiemi di A. Provare che: 

· f(XÈY) = f(X)Èf(Y) ; 

· f(XÇY) Í f(X)Çf(Y) ; 

· f(X\Y) Ê f(X)\f(Y) .

ESERCIZIO 3 Sia  f  :  A   ®   B  una funzione e X,Y sottoinsiemi di B. Provare che: 

· f ^-1(XÈY) = f ^-1(X)Èf^-1(Y) ; 

· f ^-1(XÇY) = f ^-1(X)Çf ^-1(Y) ; 

· f ^-1(X\Y) = f ^-1(X)\f ^-1(Y) .

DEFINIZIONE 4 Assegnate le funzioni f : A ® B e g : B ® C, la funzione g°f definita da

¨

DEFINIZIONE 5 Una funzione f : A ® B si dice iniettiva se vale la seguente proprietá

¨

ESERCIZIO 6 Sia A   ®   B una funzione. Provare che

DEFINIZIONE 7 Una funzione f : A ® B si dice suriettiva se risulta f(A) = B, cioé se vale la seguente proprietá

f ^-1(b) ¹ Æ, per ogni b Î B.

¨

ESERCIZIO 8 Sia  f  :  A   ®   B una funzione. Provare che

DEFINIZIONE 9 Una funzione f : A ® B si dice biettiva, o biunivoca, se risulta iniettiva e suriettiva, cioé se vale la seguente proprietá

ESERCIZIO 10 Siano  f  :  A   ®   B e  g  :  B   ®   C due funzioni. Provare che: 
· f  :  A   ®   B iniettiva Þ f  :  A   ®   f(A) biunivoca. 
· f, g iniettive (risp. suriettive, biunivoche) Þ fg iniettiva (risp. suriettiva, biunivoca). 
· fg iniettiva Þ f iniettiva. 
· fg suriettiva Þ g suriettiva. 
· fg biunivoca Þ f iniettiva e g suriettiva.

ESERCIZIO 11 Siano  f  :  A   ®   B,  g  :  B   ®   C,  h  :  C   ®   D  tre funzioni. Provare che risulta

DEFINIZIONE 12 Una funzione biunivoca di un insieme non vuoto A su se stesso prende il nome di permutazione su A. L'insieme di tutte le permutazioni su A si denota con Perm(A) o Symm(A). La funzione che ad ogni a Î A associa l'elemento a stesso é una permutazione che si chiama funzione o permutazione identica, o anche identitá, e si denota con i_A, o semplicemente con i se non vi é luogo ad equivoci. ¨

ESERCIZIO 13 Sia   f  :  A   ®   B una funzione. Provare che:

ESERCIZIO 14 Sia   f  :  A   ®   B una funzione iniettiva. Provare che esiste una funzione  g  :  B   ®   A tale che

ESERCIZIO 15 Sia   f  :  A   ®   B una funzione suriettiva. Provare che esiste una funzione   g  :  B   ®   A tale che

ESERCIZIO 16 Sia   f  :  A   ®   B una funzione e supponiamo che esistano due funzioni   g  :  B   ®   A e   h  :  B   ®   A tali che

1.3  Proprietá fondamentali degli interi relativi

Consideriamo l'insieme Z dei numeri interi (relativi) con le usuali operazioni di addizione e moltiplicazione e con la usuale relazione £ di minore o uguale. Le seguenti proprietá, ove a,b,c Î Z, sono (apparentemente) ovvie. 

1. a+b e ab sono elementi di Z.

2. a+b = b+a e ab = ba.

3. (a+b)+c = a+(b+c) e (ab)c = a(bc).

4. Esiste un elemento 0 (lo zero ) tale che a+0 = a. Esiste un elemento 1 (l'unitá) tale che a1 = a.

5. a(b+c) = ab+ac.

6. Per ogni a esiste un elemento -a (l'opposto di a) tale che a+(-a) = 0.

7. a ¹ 0 e ab = ac  Þ   b = c.

8. La relazione £ é d'ordine totale in Z (- riflessiva: a £ a,    per ogni    a Î Z;

                                                                                             - antisimmetrica: a £ b,    b £ a    Þ    a = b;

                                                                                             - transitiva: a £ b £ c    Þ    a £ c;

                                                                                             - a,b Î Z    Þ    a £ b    o    b £ a.)

9. a £ b  Þ  a+c £ b+c.

10. a £ b e 0 £ c  Þ  ac £ bc.

11. (principio di induzione) Sia S un insieme di elementi di Z e h un elemento di S. Se vale la proprietá

OSSERVAZIONE 1 Le undici proprietá ricordate sono fondamentali nel senso che a partire da esse é possibile dimostrare tutte le proprietá degli interi. Assumeremo, pertanto, queste proprietá come gli assiomi che definiscono Z. Il Lettore interessato potrá approfondire lo studio sulle costruzioni assiomatiche di N_o e di Z consultando un testo universitario di Algebra o di Analisi matematica. ¨

DEFINIZIONE 2 L'intero a+(-b) si denota con a-b e si chiama differenza fra a e b. L'operazione che ad ogni coppia di interi (a,b) associa la loro differenza a-b prende il nome di sottrazione.¨

Valgono le seguenti proprietá, che il Lettore puó provare a dimostrare per esercizio.

· a+b = a   Þ  b = 0.

· ab = a,   a ¹ 0   Þ  b = 1.

· a-(-b) = a+b.

· a0 = 0.

· a,b > 0     o     a,b < 0  Û  ab > 0.

· a,b uno positivo e l'altro negativo Û ab < 0.

· ab = 0 Þa = 0  oppure  b = 0 (legge di annullamento del prodotto).

· a £ b Þ -b £ -a.

· 0 £ a².

· a £ a+1 (principio di Archimede). 

PROPOSIZIONE 3  (principio di buon ordinamento) Ogni sottoinsieme non vuoto X di Z che sia inferiormente limitato⁴ possiede l'elemento minimo⁵.

DIMOSTRAZIONE.   L'insieme S degli interi a tali che a £ x, per ogni x Î X, é non vuoto perché X é inferiormente limitato. Si deve, dunque, provare che S contiene un elemento di X. Nell'ipotesi contraria, cioé SÇX = Æ, detto h un elemento di S, risulta

OSSERVAZIONE 4 Se negli assiomi che definiscono Z si sostituisce il principio di induzione con quello di buon ordinamento, é facile provare che quest'ultimo implica il primo. I due principi, dunque, sono equivalenti. ¨

1.4  Varianti del principio di induzione

I teoremi che seguono sono due varianti del principio d'induzione; la loro dimastrazione é immediata ed é lasciata come esercizio al Lettore.

PROPOSIZIONE 1 Sia S un sottoinsieme di N_o con le seguenti proprietá:

PROPOSIZIONE 2 Sia P(k) una proposizione definita per ogni intero k ³ h. Se

OSSERVAZIONE 3 L'ultima versione del principio di induzione é particolarmente utile perché fornisce un importante metodo di dimostrazione (dimostrazione per induzione) che, in alcuni casi, permette   di ridurre soltanto a due un numero non finito di prove da effettuare: se vogliamo provare che tutte le proposizioni (in numero non finito) P(n) sono vere per ogni n ³ h, basta dimostrare soltanto che P(h) é vera e che, se P(n) é vera per n > h, allora P(n+1) é vera. Gli esercizi che seguono mostrano alcune semplici applicazioni di questa tecnica. ¨

ESERCIZIO 4 Provare che, per ogni intero non negativo n, l'intero 2²ⁿ-1 é divisibile⁶ per 3.

SOLUZIONE.   L'asserto é banalmente vero per n = 0. Denotiamo con S l'insieme di tutti gli interi non negativi k tali che 2^2k-1 sia divisibile per 3; ovviamente 0 Î S. Ora, se assumiamo che un intero n appartenga ad S, abbiamo

ESERCIZIO 5 (formula di de Moivre) Provare che, per ogni intero non negativo n e per ogni numero reale q, risulta 

SOLUZIONE.   L'asserto é vero per n = 0. Se supponiamo che sia vero per un intero n > 0, abbiamo:

ESERCIZIO 6 Supponiamo di giocare a poker avendo a disposizione solo fiches da 5 e 8 euro. E' facile rendersi conto che in queste condizioni non é possibile fare puntate di

SOLUZIONE.   Basta provare che ogni intero n > 27 puó scriversi nella forma a5+b8, con a,b interi positivi. Ovviamente 28 = 4·5 + 1·8 é di questo tipo.

Supponiamo ora che un intero n > 28 sia del tipo n = a5+b8 e osserviamo che a e b non possono essere entrambi minori di 3. Allora abbiamo:

1.5  Equipotenza di Insiemi e Cardinalitá

Se n,m Î Z sono due interi, con n £ m, denoteremo con [n,m] l'intervallo chiuso di estremi m ed n, cioé

DEFINIZIONE 1 Due insiemi A,B si dicono equipotenti se esiste tra essi una funzione biunivoca ⁷. Se due insiemi sono equipotenti si dice anche che hanno la stessa cardinalitá, o la stessa potenza. Per indicare che A e B sono equipotenti si scrive | A| = | B| . Piú in generale, si dice che la cardinalitá di A é minore o uguale di quella di B, e si scrive | A| £ | B| , se esiste una funzone iniettiva di A in B. Se, poi, é | A| £ | B| e non esiste una funzione iniettiva di B in A si dice che la cardinalitá di A é minore di quella di B e si scrive | A| < | B|. ¨

ESERCIZIO 2 Siano A,B,C insiemi. Provare che: 
· | A| = | A| ; 
· | A| = | B| , | B| = | C| Þ | A| = | C| ; 
· | A| £ | B| , | B| £ | C| Þ | A| £ | C| .

DEFINIZIONE 3 Un insieme non vuoto A si dice finito se esiste un intero positivo n tale che A é equipotente a [1,n]; in questo caso l'intero n si chiama cardinaliá di A e coincide con la nozione di numero di elementi di A. La cardinalitá di un insieme finito si chiama anche ordine dell'insieme. Per definizione si assume anche che l'insieme vuoto sia finito con cardinalitá zero. Un insieme che non sia finito si dice infinito. ¨

ESERCIZIO 4 Siano A,B due insiemi finiti. Provare che: 
· | AÈB| = | A| + | B| - | AÇB| (principio di inclusione-esclusione); 
· | A×B| = | A| ×| B| .

ESERCIZIO 5 Sia A un insieme finito e f una funzione di A in A. Provare le seguenti equivalenze:

Riportiamo, senza dimostrazioni, alcuni risultati fondamentali sulle cardinalitá.

PROPOSIZIONE 6 Un insieme é infinito se, e solo se, é equipotente ad un suo sottoinsieme proprio.

PROPOSIZIONE 7 Se A e B sono insiemi, risulta:
· | A| £ | B| o | B| £ | A| (teorema di Hartogs); 
· | A| £ | B| e | B| £ | A| Þ | A| = | B| (teorema di Bernstein); 
· A infinito e | A| £ | B| Þ B infinito; 
· A infinito Þ | A×A| = | A|; 
· | A| < | P(A)| (teorema di Cantor);

ESEMPIO 8 L'insieme N = { 1,2,... ,n,... } degli interi positivi é infinito. Tale insieme, infatti, contiene il sottoinsieme dei numeri pari 2N = { 2n   :  n Î N } e la funzione

ESERCIZIO 9 Provare che A[x], con A = N,N₀,Z,Q,R,C é un insieme infinito.

DEFINIZIONE 10 Un insieme equipotente ad N si dice numerabile, o che ha la potenza del numerabile. ¨

ESEMPIO 11 Sia A = { a₁,a₂,¼,a_k} un insieme finito non vuoto con k elementi. La funzione f  :  AÈN  ®  N definita da

PROPOSIZIONE 12 Risultano numerabili: l'insieme Z degli interi relativi, l'insieme Q dei numeri razionali e tutti i sottoinsiemi infiniti di un insieme numerabile.

PROPOSIZIONE 13 L'insieme R dei numeri reali é equipotente all'insieme P(N) delle parti di N e, quindi, N ha cardinalitá minore di quella di R. In particolare, R non é numerabile.

DEFINIZIONE 14 Un insieme equipotente ad R, e quindi a P(N), si dice continuo, o che ha la potenza del continuo. ¨

ESERCIZIO 15 Provare che l'insieme C dei numeri complessi ha la potenza del continuo.

1.6  Coefficienti binomiali

Ricordiamo che il fattoriale di un intero non negativo n, che si denota con n! , é definito per induzione dalle seguenti posizioni:

ESERCIZIO 1 Siano n un intero positivo e A,B due insiemi finiti d'ordine n. Provare che il numero delle funzioni biunivoche di A su B é n! .

ESERCIZIO 2 Siano n,h interi positivi e A,B due insiemi finiti d'ordine rispettivamente h e n. Provare che il numero delle funzioni di A in B é n^h. Provare inoltre che, nel caso n ³ h, il numero delle funzioni iniettive di A in B é

DEFINIZIONE 3 Siano S un insieme finito d'ordine n e h un intero non negativo. Il numero dei sottoinsiemi di S d'ordine h si denota con

ESERCIZIO 4 Provare che, per ogni intero non negativo n, risulta

ESERCIZIO 5 Provare che, per ogni intero non negativo n e per ogni intero h tale che 0 £ h £ n, risulta

ESERCIZIO 6 Provare che, per ogni intero non negativo n e per ogni a,b Î A, A = Z, Q, R, C, risulta 

ESERCIZIO 7 Provare per induzione che, se un insieme finito S ha ordine n, allora l'insieme P(S) delle parti di S é finito ed ha ordine 2ⁿ.  Dedurne che

Figura 1.5: B.Pascal (1500-1557)

La seconda relazione dell'esercizio 5 mostra che, se si considera la tabella infinita T avente come riga (n+1)-esima

ESERCIZIO 8 Che relazione c'é tra fa formula di Newton ed il triangolo di Tartaglia?

Figura 1.6 : N.Tartaglia (1623-1662)

1.7  Numeri di Stirling di seconda specie e numeri di Bell

Un'importante applicazione del principio di induzione consiste nella possibilitá di costruire una successione (infinita) di interi

DEFINIZIONE 1 Sia S un insieme non vuoto. Una famiglia di sottoinsiemi non vuoti di S a due a due disgiunti la cui unione sia S prende il nome di partizione di S. I sottoinsiemi che formano una partizione si chiamano blocchi della partizione. ¨

ESERCIZIO 2 Trovare il numero di tutte le partizioni di un insieme finito con n elementi, per n = 1,2,3,4,5.

DEFINIZIONE 3  Siano n,k interi con n > 0 e k ³ 0. Il numero delle partizioni di un insieme finito d'ordine n in esattamente k blocchi si denota con S(n,k) e si chiama numero di Stirling di secondo tipo (di indici n e k). ¨

PROPOSIZIONE 4 I numeri di Stirling S(n,k) verificano la relazione di ricorrenza 

DIMOSTRAZIONE.   Sia S un insieme finito d'ordine n. E' chiaro che l'unica partizione p di S con un solo blocco é p = { S} e l'unica con n blocchi é quella formata dai singleton degli elementi⁹ di S. Questo prova che S(n,1) = S(n,n) = 1. Inoltre, poiché il numero di blocchi di una partizione di S non supera n, abbiamo S(n,k) = 0 per ogni k > n.

Supponiamo dunque n-1 ³ k ³ 2 e, detto a un elemento di S, poniamo X = S\{ a} . Allora una partizione di S in k blocchi si ottiene in uno, e uno soltanto, dei seguenti modi: · aggiungendo il blocco formato dal singleton di a ad una partizione in k-1 blocchi di X, · aggiungendo l'elemento a ad uno dei blocchi di una partizione in k blocchi di X. Poiché la prima operazione puó essere fatta in un solo modo e la seconda in k modi distinti, resta provata la nostra relazione di ricorrenza. ¨

OSSERVAZIONE 5 Prescindendo dal loro significato combinatorio, i numeri di Stirling possono definirsi per ricorrenza mediante le condizioni iniziali (1.3) e la formula di ricorrenza (1.2).¨

La relazione (1.2) mostra che, se si considera la tabella infinita S (triangolo di Stirling) avente come riga n-esima

ESERCIZIO 6 Provare che, per ogni intero n > 1, risulta

DEFINIZIONE 7 Sia n un intero positivo. Il numero di tutte le partizioni di un insieme finito d'ordine n si denota con B(n) e si chiama numero di Bell. ¨

ESERCIZIO 8 Provare che, per ogni intero positivo n, risulta

1.8  Numeri di Fibonacci e rapporto aureo

DEFINIZIONE 1 Si chiamano numeri di Fibonacci, e si denotano con F_n, gli interi  della successione { F_n,  n ³ 0 } (detta di Fibonacci)  definiti dalla relazione di ricorrenza

¨

I primi dodici elementi della successione di Fibonacci sono:

PROPOSIZIONE 2 (identitá di Cassini) Per ogni intero positivo n, risulta

DIMOSTRAZIONE.   Essendo l'asserto vero per n = 1, possiamo procedere per induzione su n e, a tale scopo, supponiamo n > 1 e l'asserto vero per n-1. Abbiamo dunque

Usando l'identitá di Cassini é possibile trovare una formula esplicita (forma chiusa ) per il numero Fibonacci F_n. Vale infatti il seguente teorema, di cui omettiamo la dimostrazione.

PROPOSIZIONE 3 Per ogni intero non negativo n, risulta

OSSERVAZIONE 4 Il numero

ESERCIZIO 5 Provare che nella figura , costruita a partire dal segmento AB di lunghezza a e dal suo punto medio M, la lunghezza b del segmento BC é tale che a/b sia il rapporto aureo.
                                        

OSSERVAZIONE 6 I numeri F_n prendono il nome dal matematico Leonardo Pisano Fibonacci, che li introdusse (probabilmente) per primo allo scopo di risolvere il seguente problema: quante coppie di conigli nasceranno in un anno se a gennaio abbiamo una coppia appena nata che ogni mese dá alla luce una nuova coppia e ogni coppia é produttiva dopo due mesi dalla nascita? Non dovrebbe essere difficile rendersi conto che dopo n mesi ci saranno esattamente F_n+1 coppie. Sorprendentemente questi numeri intervengono in molti fenomeni naturali e numerose questioni statistiche. ¨

1.9  Esercizi

1    Siano A,B,C insiemi. Provare le seguenti proprietá:

· (AÈB)\C = (A\C)È(B\C);

· (AÇB)\C = (A\C)Ç(B\C);

· A\(BÈC) = (A\B)Ç(A\C);

· A\(BÇC) = (A\B)È(A\C).

2    Siano A e B insiemi. Provare che risulta A×B = B×A se, e solo se, A = B.

3    Siano a,b,c,d interi non negativi. Provare le seguenti implicazioni:

4    Usando il principio di induzione, provare le seguenti identitá, per ogni intero positivo n.

5    Usando il principio di induzione, provare che 2ⁿ-1 > n, per ogni intero n > 1.

6    Provare che, per ogni intero a e per ogni intero positivo n, risulta

7    Provare che un intero della forma 4²ⁿ-1 é divisibile per 15, per ogni intero n ³ 1.

8    Provare che risulta

9    Otto persone compongono il consiglio di amministrazione di una azienda e tra questi devono essere eletti un presidente, un segretario ed un tesoriere. Quante sono le soluzioni possibili?

10    Definite per ricorrenza le seguenti successioni

Note:

¹ In generale, il simbolo / sovrapposto ad un altro simbolo indica la negazione di quest'ultimo.

² La notazione : = indica che il simbolo scritto alla sua sinistra é definito da ció che é scritto alla sua destra.

³ Il simbolo : si legge "tale che"; un simbolo equivalente a : é  | .

⁴ X é inferiormente limitato se esiste un intero a tale che a £ n, per ogni n Î X.

⁵ Un elemento m Î X si dice minimo di X, se risulta m £ n, per ogni n Î X. Si prova che se X ammette un minimo m esso é unico.

⁶ Dati due interi a,b, con b ¹ 0, si dice che a é divisibile per b se esiste un intero c tale che a = bc.

⁷ Si tenga presente che se esiste una funzione biunivoca f tra A e B, ne esiste anche una fra B e A: l'inversa di f.

⁸ Quando sopra un elemento non troviamo alcun numero sottointendiamo che ci sia scritto zero.

⁹ Il singleton di un elemento a Î S é il sottoinsieme { a} di S.

¹⁰ Quando sopra un elemento non troviamo alcun numero sottointendiamo che ci sia scritto zero.