Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
Corso di Laurea in Matematica

Corso di Algebra
Anno Accademico 2000/2001
Prof. Francesco Mazzocca - Dott. Paola D'Aquino

PROGRAMMA

PRELIMINARI E ARITMETICA. Cardinalità di un insieme. Insiemi numerabili. La potenza del continuo. Proprietà fondamentali degli interi. Principio di induzione. Successioni definite per ricorrenza.
La divisione euclidea. Sistemi di numerazione. Divisibilità in Z. Massimo comune divisore e algoritmo di Euclide. Il teorema fondamentale dell'aritmetica. Insiemi ordinati e reticoli. Il lemma di Zorn. Relazioni di equivalenza e insiemi quozienti. Interi modulo n. Elementi invertibili in Z_n. Equazioni congruenziali. Il piccolo teorema di Fermat.

GENERALITA' SULLE STRUTTURE ALGEBRICHE. Operazioni su un insieme. Isomorfismi. Elementi neutri. Elementi simmetrizzabili. Gruppi e primi esempi. Anelli, corpi, campi e primi esempi. Parti stabili e operazioni indotte. Elementi permutabili e centrali. Elementi cancellabili. Traslazioni. Morfismi.
Sottogruppi di un gruppo. Sottogruppo generato da un insieme. Gruppi ciclici. Sottogruppi permutabili. Sottogruppi di (Z,+) e (Z_n,+).
Sottoanelli e ideali di un anello. Sottoanelli e ideali generati da un insieme. Anelli principali. Ideali massimali e primi. Ideali di Z e Z_n. Lemma di Krull.

ESEMPI NOTEVOLI DI GRUPPI E ANELLI. Il gruppo simmetrico S_n. Il gruppo alterno A_n. Gruppi di Permutazioni. Il gruppo lineare. Il gruppo lineare speciale. Il gruppo ortogonale e il gruppo ortogonale speciale. Il gruppo affine di un campo. Il gruppo delle isometrie della retta reale. Il gruppo delle affinità del piano reale. Il gruppo delle isometrie del piano reale. Il gruppo delle simmetrie di una figura. Il gruppo diedrale di grado n. Il gruppo diedrale infinito. Prodotto diretto esterno di gruppi. Il 4-gruppo di Klein. Il gruppo dei quaternioni. L'automorfo di un gruppo.
Anelli di polinomi. Anelli di serie formali. Estensioni quadratiche. L'anello degli endomorfismi di un gruppo abeliano. Il corpo dei quaternioni. Anelli di funzioni. Somma diretta di anelli.

PROPRIETA' DEI POLINOMI. Generalità sulla divisibilità in un dominio di integrità unitario. Radici di un polinomio. Polinomi irriducibili e primi. Polinomi irriducibili su Q e Z. Divisibilità in anelli di polinomi. Polinomi irriducibili e ideali. Fattorizzazione unica in Z[x]. Radici multiple di un polinomio. Fattorizzazione di polinomi su R e C.

QUOZIENTI E MORFISMI DI GRUPPI E ANELLI. Generalità sulle strutture quozienti e teorema di omomorfismo.
Congruenze in un gruppo. Laterali di un sottogruppo e teorema di Lagrange. Sottogruppi normali e gruppi quozienti. Morfismi, teorema di omomorfismo e teoremi di isomorfismo per i gruppi. Identità di Dedekind. Gruppi ciclici e loro classificazione.
Congruenze in un anello. Anelli quozienti. Morfismi e teorema di omomorfismo per gli anelli. L'anello degli endomorfismi di un gruppo ciclico.

COMPLEMENTI DI TEORIA DEGLI ANELLI. Il campo dei quozienti di un dominio di integrità. Sottoanello fondamentale di un anello unitario. Sottocampo fondamentale di un corpo. Anelli principali. Anelli noetheriani. Anelli fattoriali. Anelli euclidei.

COMPLEMENTI DI TEORIA DEI GRUPPI. Prodotti diretti. Coniugio sugli elementi di in un gruppo. Centralizzante di un elemento. Coniugio sui sottogruppi di un gruppo. Normalizzante e centralizzante di un sottogruppo. Coniugio in S_n.
Relazione di Burnside. Il teorema di Cauchy. I Teoremi di Sylow. Classificazione dei gruppi abeliani finiti.

ELEMENTI DI TEORIA DEI CAMPI. Estensioni di un campo. Elementi algebrici e trascendenti su un campo. Estensioni semplici. Grado di un campo su un sottocampo. Estensioni algebriche. Zeri di polinomi e campi di spezzamento. Campi algebricamente chiusi. Campi finiti.

TESTI CONSIGLIATI

• Appunti delle lezioni, distribuiti gratuitamente durante il corso (disponibili in rete).
• Elementi di Algebra, Aracne Editrice.

• M. Curzio, P. Longobardi, M. May, Lezioni di Algebra, Liguori Editore.
• G.M. Piacentini Cattaneo, Algebra, un approccio algoritmico, Decibel/Zanichelli.
• M. Curzio, P. Longobardi, M. May, Esercizi di Algebra, Liguori Editore.
• S. Franciosi, F. de Giovanni,Esercizi di Algebra, Aracne Editrice.

• Appunti delle lezioni in rete algebraonline .
• Abstract Algebra on Line .
• Eric Weisstein's World of Mathematics ( Algebra) .
• Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles ( Arithmetic and Algebra ).
• The MacTutor History of Mathematics archive ( Prime numbers - Fermat's last theorem - The development of group theory - The beginnings of set theory - Matrices and determinants - The fundamental theorem of algebra - Perfect numbers ).
• GIMPS The Great Internet Mersenne Primes Search.