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APPUNTI DI ALGEBRA

indice generale

Capitolo 4

PRIME PROPRIETÁ DEI GRUPPI E DEGLI ANELLI

4.1 Sottogruppi di un gruppo

4.1.1 Sottogruppi permutabili

4.1.2 Sottogruppi di (Z,+) e di (Zn,+).

4.2 Sottoanelli e ideali di un anello

4.2.1 Ideali massimali e primi

4.2.2 Ideali di (Z,+,·) e (Zn,+,·)

4.3 Esercizi proposti

4.1  Sottogruppi di un gruppo

Sia G un gruppo.

DEFINIZIONE 1 Un sottoinsieme H di G si chiama sottogruppo se é una parte stabile e se é un gruppo rispetto all'operazione indotta in esso da G. Per un sottogruppo H di G si usa la notazione H £ G. _¨

OSSERVAZIONE 2 Notiamo esplicitamente che una parte stabile di un gruppo non é necessariamente un sottogruppo. Per esempio, nel gruppo additivo degli interi, il sottoinsieme N_o degli interi non negativi é una parte stabile ma, evidentemente, non é un sottogruppo. _¨

Ogni gruppo G possiede due sottogruppi banali : { 1 } (sottogruppo identico ) e G. Un sottogruppo H diverso da G si dice proprio e per esso si usa la notazione H < G. Valgono, inoltre, le seguenti proprietá di facile verifica:

· l'unitá di H coincide con l'unitá di G;

· l'inverso in H di un suo elemento a coincide con l'inverso di a in G;

· HH = { ab  :  a,b Î H} = H .

Le due proposizioni che seguono forniscono degli utili test per verificare se un sottoinsieme H di G é un sottogruppo.

PROPOSIZIONE 3 In un gruppo G valgono le seguenti equivalenze:

· H £ G Û H è stabile e a Î H Þ a^-1 Î H ;

· H £ G Û a^-1b Î H, per ogni a,b Î H .

DIMOSTRAZIONE.   E' lasciata per esercizio al Lettore. _¨

PROPOSIZIONE 4 In un gruppo G vale la seguente equivalenza:

· H £ G, H finito Û H sottoinsieme finito e stabile di G.

DIMOSTRAZIONE.   La prima implicazione é ovvia. Supponiamo, dunque, che H sia un sottoinsieme finito e stabile di G. Se b é un elemento di H, risulta

Ora, poiché 1 Î H = bH, esiste un elemento c Î H tale che bc = 1, cosí c = b^-1 e abbiamo che b^-1 Î H, per ogni b Î H. Ne segue che H é un sottogruppo di G. _¨

ESEMPI 5 I seguenti sottoinsiemi sono sottogruppi di G:

· < a > = { aⁿ   :   n Î Z}, con a Î G.

· Il centro Z(G) di G. _¨

ESERCIZIO 6 Provare che gli insiemi

ESERCIZIO 7 Siano G un gruppo e H un suo sottogruppo. Provare che ogni sottogruppo di H é anche un sottogruppo di G. _¨

Elenchiamo alcune proprietá e definizioni relative ai sottogruppi di un gruppo.

· L'unione di due sottogruppi non é in generale un sottogruppo.

· L'intersezione di una famiglia di sottogruppi é un sottogruppo.

· La proprietá precedente permette di definire il sottogruppo generato da un sottoinsieme X di G come l'intersezione di tutti i sottogruppi di G che contengono X. Tale sottogruppo si denota con < X > ed é il piú piccolo (rispetto all'inclusione) sottogruppo di G che contiene X.

· Un sottogruppo H di G é il sottogruppo generato da un sottoinsieme X di G se, e solo se, sono verificate le due seguenti proprietá:

(1) H é un sottogruppo di G contenente X,

(2) ogni sottogruppo K di G contenente X contiene H.

· < Æ > = { 1} .

· H £ G e X Í H Þ < X > Í H.

· X Í Y Þ < X >    £    < Y > .

· < X > = X ÛX é un sottogruppo.

· Se X é non vuoto,

· Sia X = HÈK, ove H e K sono sottogruppi di G. Allora < X > si chiama sottogruppo generato da H e K e si denota con < H,K > . Risulta:

· Sia X = È_{H Î Á} H, ove Á é una famiglia di sottogruppi di G. Allora < X > si chiama sottogruppo generato dalla famiglia Á e si denota con < H  :  H Î Á > . Risulta:

· Se risulta < X > = G si dice che X é un generatore di G, o anche che G é generato da X.

ESERCIZIO 8 Provare che l'unione di una catena (rispetto all'inclusione) di sottogruppi di un gruppo é un sottogruppo. _¨

ESERCIZIO 9 Provare che

ESERCIZIO 10 Provare che H = { 0,4,8,12} é un sottogruppo del gruppo additivo di Z₁₆. _¨

ESERCIZIO 11 Siano G₁ e G₂ due gruppi e f : G₁® G₂ un monomorfismo. Provare che f(G₁) é un sottogruppo di G₂ isomorfo a G₁. _¨

DEFINIZIONE 12 Un gruppo G (risp. un sottogruppo H di G) si dice ciclico se puó essere generato da un solo elemento, cioé se esiste a Î G (risp. a Î H ) tale che G = < a > (risp. H = < a > ). _¨

OSSERVAZIONE 13 Se G é un gruppo ciclico ed a un suo generatore, risulta

ESERCIZIO 14 Sia G = < a > il gruppo ciclico generato dall'elemento a. Provare che G é infinito se, e soltanto se, a ha ordine infinito in G e, in questo caso, risulta a^h ¹ a^k, per ogni due interi non negativi e distinti h e k. Provare inoltre che G é finito d'ordine n se, e soltanto se, a ha periodo finito n in G e, in questo caso, risulta G = { 1 = a⁰, a, a²,... ,a^n-1} . _¨

ESEMPI 15
· (Z,+) é un gruppo ciclico, avendosi Z = < 1 > = < -1 > .

· (Z_m,+) é un gruppo ciclico, avendosi Z_m = < 1 > . _¨

ESERCIZIO 16 Provare che ogni gruppo ciclico é abeliano. _¨

ESERCIZIO 17 Provare che il gruppo delle radici n-esime dell'unitá del campo complesso é ciclico e determinare ciascuno dei suoi generatori. _¨

ESERCIZIO 18 Provare che il gruppo additivo dei razionali (Q,+) non é ciclico.

SOLUZIONE.   Per assurdo, sia n/m Î Q un generatore di (Q,+), con n,m coprimi e osserviamo che deve essere m ¹ ±1, perché un intero non puó generare (Q,+). Allora dovrebbe esistere un intero k tale che

Se A,B sono sottoinsiemi non vuoti di un gruppo G, poniamo

DEFINIZIONE 19 Due sottogruppi H,K di G si dicono permutabili se é HK = KH, cioé se, per ogni h Î H e k Î K, esistono h₁,h₂ Î H e k₁,k₂ Î K tali che hk = k₁h₁ e kh = h₂k₂.¹ _¨

TEOREMA 20 Siano H,K sottogruppi di G. Allora risulta < H,K > = HK se, e solo se, H e K sono permutabili.

DIMOSTRAZIONE.   Nell'ipotesi < H,K > = HK, abbiamo: KH Í HK.

· < H,K > = HK Þ KH Í HK.

· hk Î HK , h Î H , k Î K Þ (hk)^-1 = k^-1h^-1 Î HK Þ k^-1h^-1 = h₁k₁ con h₁ Î H e k₁ Î K Þ hk = (k^-1h^-1)^-1 = (h₁k₁)^-1 = k₁^-1h₁^-1 Î KH Þ HK Í KH .

Ne segue che é HK = KH.

Nell'ipotesi HK = KH, dobbiamo provare che < H,K > Í HK, essendo evidente l'inclusione inversa.

· Sia h₁k₁h₂k₂¼h_nk_n Î < H,K > , n > 0, h_j Î H, k_j Î K. Se é n = 1 l'asserto é vero e quindi possiamo procedere per induzione su n:

(h₁k₁h₂k₂¼h_n-1k_n-1)h_nk_n = hkh_nk_n , con h Î H, k Î K Þ kh_n = h¢k¢ , con h¢ Î H, k¢ Î K (perché HK = KH) Þ h₁k₁¼h_nk_n = hh¢k¢k_n = h^*k^* , con h^* Î H e k^* Î K. _¨

I due corollari che seguono sono di immediata dimostrazione.

COROLLARIO 21 Se G é un gruppo abeliano e H,K due suoi sottogruppi, allora risulta

COROLLARIO 22 Siano G un gruppo e H₁,H₂,...,H_n sottogruppi di G a due a due permutabili. Allora

DEFINIZIONE 23 Siano G un gruppo e H₁,H₂,...,H_n sottogruppi di G a due a due permutabili. Il sottogruppo di G

ESEMPIO 24 Vogliamo dare un esempio di due sottogruppi H,K di un gruppo per cui risulta < H,K > ¹ HK . Naturalmente, in forza del teorema 20, H e K non dovranno essere permutabili. A Tale scopo, nel gruppo G = GL(2,Q) consideriamo i sottogruppi (cfr.esercizio 6 )

TEOREMA 25 (identitá di Dedekind) Siano H,K,L sottogruppi di G tali che

DIMOSTRAZIONE.   Abbiamo:

· H £ L, H £ HK Þ H £ HKÇL e sappiamo che é KÇL Í HKÇL Þ H(KÇL) Í HKÇL.

· a Î HKÇL Þ a Î HK e a = hk con h Î H, k Î K Þ k = h^-1a, h^-1 Î H £ L, a Î HKÇL £ L Þ K ' k = h^-1a Î L Þ k Î KÇL Þ a Î H(KÇL) Þ HKÇL Í H(KÇL).

Abbiamo cosí la (i).

· Poiché HKÇL é un sottogruppo di G, per la (i), anche H(KÇL) é un sottogruppo di G. Allora H e KÇL devono essere permutabili, cioé la (ii). _¨

Abbiamo giá osservato che i gruppi (Z,+) e (Z_n,+), per ogni intero n > 1 sono ciclici. Ci proponiamo, ora, di studiare i sottogruppi di tali gruppi.

OSSERVAZIONE 26 Sia m un intero. L'insieme mZ = { ma  :  a Î Z} dei multipli di m é un sottogruppo ciclico di (Z,+), avendosi mZ = < m > . Inoltre risulta mZ = Z se, e solo se, m = ±1. _¨

PROPOSIZIONE 27 Ogni sottogruppo H di (Z,+) é del tipo

DIMOSTRAZIONE.   Abbiamo giá osservato che mZ é un sottogruppo ciclico di (Z,+). Supponiamo dunque che H sia un sottogruppo non banale e non nullo, altrimenti l'asserto é vero. In tale ipotesi H contiene almeno un intero positivo; quindi possiamo considerare il minimo m degi interi positivi contenuti in H e risulta mZ £ H. Detto a un elemento di H, se q,r sono rispettivamente il quoziente ed il resto della divisione di a per m, abbiamo

Dalla proposizione 27 e dall'osservazione 26 si ha subito il seguente corollario.

COROLLARIO 28 Gli interi 1 e -1 sono gli unici generatori del gruppo (Z,+). _¨

ESERCIZIO 29 Provare che nZ é contenuto in mZ se, e solo se, m divide n. _¨

ESERCIZIO 30 Provare che in (Z,+) il sottogruppo < a,b > generato da due interi distinti a,b coincide col sottogruppo ciclico generato da un massimo comune divisore di a e b. Provare, inoltre, che un minimo comune multiplo di a e b é un generatore del sottogruppo intersezione di < a > e < b > . _¨

PROPOSIZIONE 31 Sia h un elemento non nullo del gruppo additivo (Z_n,+) degli interi modulo n. Allora il sottogruppo ciclico < h > generato da h ha ordine n/MCD(n,h). In particolare, h é un generatore di (Z_n,+) se, e solo se, é coprimo con n.

DIMOSTRAZIONE.   E' lasciata per esercizio al Lettore. _¨

PROPOSIZIONE 32 Ogni sottogruppo del gruppo additivo (Z_n,+) é ciclico ed ha ordine divisibile per n.

DIMOSTRAZIONE.   Assumiamo Z_n = { 0,1,2,...,n-1} , sia H un sottogruppo non nullo di (Z_n,+) e sia h il piú piccolo intero positivo contenuto in H. Ovviamente risulta < h > £ H. Sia ora m un elemento di H e siano q,r il quoziente e il resto della divisione fra m ed h. Poiché risulta m-qh = r e m,qh Î H, l'intero r, che é minore di h, appartiene ad H. Ne segue che r = 0, cioé H £ (h), e in definitiva abbiamo H = < h > . Ora, dalla proposizione precedente abbiamo che l'ordine di H divide n e l'asserto é provato. _¨

Le ultime due proposizioni hanno il seguente corollario.

COROLLARIO 33 Sia (Z_n,+) il gruppo additivo degli interi modulo n ed h un divisore positivo di n. Allora (Z_n,+) contiene un unico sottogruppo d'ordine h.

DIMOSTRAZIONE.   Posto Z_n = { 0,1,2,...,n-1 } e n = hk, il sottogruppo < k > generato da k ha ordine h. Sia ora H un sottogruppo di Z_n d'ordine h. Sappiamo che H é ciclico e che il periodo di un suo generatore m é h, per cui hm º 0 (mod  n). Ne segue che esiste un intero q tale che hm = qn, da cui m = qk Î < k > . Allora risulta H Í < k > e, essendo sia H che < k > d'ordine h, risula H = < k > . L'asserto é dunque completamente provato. _¨

OSSERVAZIONE 34 Notiamo esplicitamente che, se assumiamo Z_n = { 0,1,2,...,n-1} , e h é un intero positivo che divide n, posto n = hk, il sottogruppo ciclico generato da h in (Z_n,+) ha ordine k ed é dato da

4.2  Sottoanelli e ideali di un anello

Sia A un anello.

DEFINIZIONE 1 Un sottoinsieme H di un anello A si chiama sottoanello se é una parte stabile e se é un anello rispetto alle operazioni indotte in esso da A. Un sottoanello che risulti un corpo (risp. campo) si chiama sottocorpo (risp. sottocampo). _¨

ESERCIZIO 2 Nell'anello degli interi trovare una parte stabile che non é un sottoanello. _¨

Ogni anello A possiede due sottoanelli banali: { 0} (sottoanello nullo) e A. Un sottoanello diverso da A si dice proprio.

Elenchiamo alcune proprietá e definizioni relative ai sottoanelli di un anello A.

· H sottoanello di A Û a-b Î H e ab Î H, per ogni a,b Î H.

· L'unione di due sottoanelli non é in generale un sottoanello.

· L'intersezione di una famiglia di sottoanelli é un sottoanello.

· La proprietá precedente permette di definire il sottoanello generato da un sottoinsieme X di A come l'intersezione di tutti i sottoanelli di A che contengono X. Tale sottoanello é il piú piccolo (rispetto all'inclusione) sottoanello di A che contiene X.

· Un sottoanello H di A é il sottoanello generato da un sottoinsieme X di A se, e solo se, sono verificate le due seguenti proprietá:

(1) H é un sottoanello di A contenente X,

(2) ogni sottoanello K di A contenente X contiene H.

· Un elemento a Î A si dice centrale se é tale rispetto al prodotto. L'insieme Z(A) degli elementi centrali di A si chiama centro di A ed é un sottoanello di A.

· Un sottoanello di un anello unitario puó non essere unitario.

· Un sottoanello unitario di un anello unitario A puó avere unitá diversa da quella di A.

ESEMPI 3
· Z é sottoanello di Q.

· 2Z é un sottoanello non unitario dell'anello unitario Z.

· H = {[

a	0
0	0

] : a Î R } é sottoanello unitario di M₂(R) con unitá [

1	0
0	0

] . Si osservi che l'unitá di H é diversa dall'unitá di M₂(R). _¨

ESERCIZIO 4 Siano A₁ e A₂ due anelli e f : A₁® A₂ un monomorfismo. Provare che f(A₁) é un sottoanello di A₂ isomorfo a A₁. _¨

ESERCIZIO 5 Sia A un anello. Provare che l'intersezione di una famiglia di sottocampi (risp. sottocorpi) di A é un sottocampo (risp. sottocorpo) di A. Nel caso A sia un campo e X un insieme di suoi elementi, definire il sottocampo di A generato da X. _¨

DEFINIZIONE 6 Un sottoanello H di A prende il nome di ideale sinistro (risp. destro) se

OSSERVAZIONE 7 Un sottoanello di un anello non é necessariamente un ideale. Per esempio, Z é un sottoanello di Q che non é un ideale. _¨

OSSERVAZIONE 8 Gli insiemi { 0} e A sono ideali bilateri dell'anello A e sono detti ideali banali di A. Un ideale di A diverso da A si dice proprio. Se A é commutativo, tutti i suoi ideali sono bilateri. _¨

ESERCIZIO 9 Provare che nell'anello M₂(Z) l'insieme

ESEMPIO 10 Sia a un numero reale. L'insieme

Riportiamo di seguito alcune proprietá e definizioni relative agli ideali.

· H ideale sinistro di A Û a-b Î H per ogni a,b Î H e ah Î H per ogni a Î A, h Î H.

· L'intersezione di una famiglia di ideali sinistri é un ideale sinistro.

· La proprietá precedente permette di definire l'ideale sinistro generato da un sottoinsieme X di A come l'intersezione di tutti gli ideali sinistri di A che contengono X. Tale ideale si denota con (X)_s ed é il piú piccolo (rispetto all'inclusione) ideale sinistro di A contenente X.

· Un ideale sinistro H di A é l'ideale sinistro generato da un sottoinsieme X di G se, e solo se, sono verificate le due seguenti proprietá:

(1) H é un ideale sinistro di A contenente X,

(2) ogni ideale sinistro K di A contenente X contiene H.

· Se H,K sono ideali sinistri di A, risulta

· Se A é unitario ed un suo ideale sinistro H contiene 1, allora risulta H = A.

· Se A é unitario ed un suo ideale sinistro H contiene un elemento invertibile, allora risulta H = A.

· Se x Î A, risulta

PROPOSIZIONE 11 Un anello unitario non nullo A é un corpo se, e soltanto se, i suoi unici ideali sinistri (destri) sono quelli banali.

DIMOSTRAZIONE.   Se A é un corpo, un suo ideale sinistro non nullo contiene elementi invertibili e, quindi, coincide con A. Supponiamo ora che A non possegga ideali sinistri non banali e sia x un suo elemento diverso da zero. Allora abbiamo (x) = A e, di conseguenza, l'unitá 1 di A appartiene ad (x). Ne segue, in forza della (4.6), che esiste in A un elemento a ¹ 0 tale che ax = 1. Analogamente, avendosi (a) = A, esiste in A un elemento b ¹ 0, tale che ba = 1 e risulta:

DEFINIZIONE 12 Un ideale sinistro (risp. destro, bilatero) H si dice principale se puó essere generato da un solo elemento, cioé se esiste x Î H tale che (x)_s = H (risp. (x)_d = H, (x) = H). Un dominio di integritá unitario A si chiama anello principale se tutti i suoi ideali sono principali. _¨

ESERCIZIO 13 Provare che l'unione di una catena (rispetto all'inclusione) di ideali sinistri (risp. destri, bilateri) di un anello é un ideale sinistro (risp. destro, bilatero). _¨

Sia A un anello.

DEFINIZIONE 14 Un ideale sinistro (risp.destro, bilatero) proprio H di A si dice massimale se non é propriamente contenuto in alcun ideale sinistro (risp. destro, bilatero) diverso da A. _¨

Il teorema che segue é un'altra importante applicazione del lemma di Zorn.

TEOREMA 15 (teorema di Krull) Sia A un anello unitario. Allora ogni ideale sinistro proprio H é contenuto in almeno un ideale sinistro massimale.

DIMOSTRAZIONE.   · Sia (L , Í ) l'insieme ordinato degli ideali sinistri propri di A contenenti H e sia E una catena di L. Poniamo:

· L é un ideale sinistro di A contenente H. Poiché 1\not Î L, L é un ideale proprio² e quindi appartiene a L.

· L é un maggiorante di E in L e quindi L risulta un insieme induttivo.

· Dal lemma di Zorn ricaviamo che esiste in L un elemento massimale M.

· M é un ideale sinistro massimale contenente H, e l'asserto é dimostrato. _¨

COROLLARIO 16 Ogni anello unitario contiene almeno un ideale sinistro massimale. _¨

DEFINIZIONE 17 Sia A un anello commutativo. Un ideale proprio H di A si dice primo se:

OSSERVAZIONE 18 Un anello commutativo A é un dominio di integritá se, e soltanto se, l'ideale nullo é un ideale primo. _¨

DEFINIZIONE 19 Sia A un anello commutativo e H,K £ A. Allora l'insieme

ESERCIZIO 20 Provare che, se H,K,L sono ideali di un anello unitario, risulta:

PROPOSIZIONE 21 Siano A un anello commutativo, H un ideale primo e H₁, H₂, ... H_n ideali tali che H₁H₂¼H_n £ H. Allora risulta H_i £ H, per almeno un indice i.

DIMOSTRAZIONE.   Supponiamo n = 2, H₂\not £ H e b Î H₂\H. Allora si ha

Usando i risultati del paragrafo 4.1.2 si possono caratterizzare senza difficoltá gli ideali dell'anello degli interi e dell'anello degli interi modulo n.

PROPOSIZIONE 22 Ogni ideale H di (Z,+,·) é del tipo mZ, ove m é il minimo fra gli interi non negativi contenuti in H. Ne segue che Z é un anello principale.

DIMOSTRAZIONE.   Osserviamo che mZ é un ideale e che ogni ideale é un sottogruppo di (Z,+). Allora l'asserto segue dalla proposizione 27. _¨

ESERCIZIO 23 Sia mZ un ideale dell'anello Z degli interi. Provare che mZ é un ideale primo se, e solo se, m é un primo. Provare inoltre che un ideale di Z é primo se, e solo se, é massimale. _¨

PROPOSIZIONE 24 Ogni ideale H di (Z_n,+,·) é del tipo

DIMOSTRAZIONE.   Osserviamo che < h > é un ideale e che ogni ideale é un sottogruppo di (Z_n,+). Allora l'asserto segue dalla proposizione 32 e dal corollario 33. _¨

4.3  Esercizi proposti

1    Posto G = { (a,b) Î R²     :    a ¹ 0 ,  a+b ¹ 0} , si consideri la seguente operazione "°" su G:

2    Provare che U(10) = { 1,3,7,9} e che < 3 > = U(10).

3    Provare che in (Z₁₀,+) risulta < 2 > = { 0,2,4,6,8}.

4    Provare che in (Z,+) risulta < -1 > = Z.

5    Determinare gli interi n per cui (Z^*_n,·) é un gruppo.

6    Si considerino i seguenti gruppi: (Z₁₂,+), U(10), U(12). Per ognuno di essi se ne determini l'ordine e si calcoli l'ordine di ciascuno dei suoi elementi.

7    Determinare i possibili ordini di un gruppo ciclico avente un unico generatore.

8    Siano G un gruppo, H un sottogruppo di G, a un elemento di G di periodo finito n ed m un intero positivo coprimo con n. Usando l'identitá di Bézout, nell'ipotesi che a^m appartiene ad H, provare che anche a appartiene ad H.

9    Provare che U(14) = < 3 > = < 5 > .

10    Provare che il gruppo U(20) non é ciclico.

11    Nel gruppo SL(2,R) trovare l'ordine dei seguenti elementi:

12    Trovare l'ordine di

13    Provare che

14    Trovare tutti gli elementi dei sottogruppi < 10 > e < 20 > del gruppo additivo Z₃₀.

15    Trovare tutti gli elementi dei sottogruppi < 3 > e < 7 > del gruppo U(20).

16    Sull'insieme S = R^*×R, si definisca la seguente operazione "ë":

17    Dimostrare che un gruppo privo di sottogruppi non banali é necessariamente ciclico.

18    Provare che in un gruppo abeliano G tutti gli elementi di periodo finito costituiscono un sottogruppo (il sottogruppo di torsione di G). E' vera questa proprietá in un gruppo non abeliano?

19    Siano G un gruppo e a un suo elemento. Provare che l'insieme di tutti gli elementi di G permutabili con a formano un sottogruppo di G. Tale sottogruppo si chiama centralizzante di a in G e si denota con C_G(a). Provare, inoltre che

20    Si consideri la seguente relazione C_G tra gli elementi di un gruppo G:

21    Sia H un sottogruppo di un gruppo G e, per ogni a Î G, si ponga

22    Provare che nell'insieme L(G) di tutti i sottogruppi di un gruppo G, la relazione G_G definita da

23    Sia G un gruppo. Per ogni due elementi a,b di G si chiama commutatore della coppia (a,b) l'elemento [a,b] di G definito da

· [a,b] = 1     Û    ab = ba ;

· ab = ba[a,b] ;        [a,b]^-1 = [b,a] ;

· [ab,c] = b^-1[a,c]b [b,c] ;       [a,bc] = [a,c] c^-1[a,b]c ;

· [a^-1,b] = (a[a,b]a^-1)^-1;       [a,b^-1] = (b[a,b]b^-1)^-1.

24    Provare che le matrici

25    Sia A un anello commutativo e siano a,b due suoi elementi nilpotenti tali che aⁿ = b^m = 0, con n,m interi positivi. Provare che (a-b)^n+m = 0 e che (ca)ⁿ = 0, per ogni c Î A. Dedurne che gli elementi nilpotenti di un anello commutativo formano un ideale.

26    Provare che, se il gruppo additivo di un anello é ciclico, allora l'anello é commutativo.

27    Provare che l'insieme delle matrici diagonali di M_n(Z) é un sottoanello di M_n(Z).

28    Provare che l'insieme

29    Siano K un campo e S₂(K) l'insieme delle matrici su K del tipo

30    Siano K = Z₃ e S₂(K) il campo definito nell'esercizio precedente. Provare che S₂(K) ha ordine 9, che il suo gruppo additivo non é ciclico e che il suo gruppo moltiplicativo é ciclico.

31    Nell'anello M₂(R) si consideri il seguente sottoinsieme:

32    Sull'insieme A = R×R si definiscano un'operazione di addizione "+" e una di moltiplicazione "·" nel seguente modo:

33    Sull'insieme H(R,R) di tutte le funzioni di R in R si definiscano un'operazione di addizione "+" e una di moltiplicazione "·" nel seguente modo:

34    Per ogni numero reale t, si consideri in M₂(R) il sottoinsieme M₂(t) costituito da tutte le matrici del tipo

35    In M₂(R) si consideri il sottoinsieme A costituito da tutte le matrici del tipo

36    Siano A un anello unitario ed a un suo elemento tale che a² = 1. Provare che X = { axa   :  x Î A} é un sottoanello di A e che 1 Î X.

37    Trovare una condizione necessaria e sufficiente affinché risulti

38    Controllare la correttezza delle seguenti implicazioni in un anello unitario:

39    Trovare tutti gli elementi invertibili dell'anello M₂(Z₂).

40    Trovare un esempio di anello contenente due divisori dello zero, a e b, tali che a+b non é un divisore dello zero.

41    Sia A un anello commutativo tale che aA = A, per ogni elemento a Î A. Provare che A é un campo.

42    Provare mediante qualche esempio che l'intersezione di due ideali primi in un anello non é necessariamente un ideale primo.

43    Siano H,K ideali bilateri di un anello A. Provare che ab Î HÇK, per ogni a Î H e b Î K.

44    Siano G un gruppo abeliano e H = { a Î G  :  a² = 1} . Provare che H é un sottogruppo di G.

45    Siano G un gruppo abeliano e H l'insieme dei quadrati di G, cioé H = { a²  :  a Î G} . Provare che H é un sottogruppo di G.

46    Sia R^* il gruppo moltiplicativo dei numeri reali e siano H e K i seguenti sottoinsiemi di R^*:

47    In M₂(Z) si consideri il sottoinsieme

48    In M₂(Z) si consideri il sottoinsieme

49    Sia H un sottogruppo additivo di R e si ponga K = { 2^a  :  a Î H}. Provare che K é un sottogruppo moltiplicativo di R^*.

50    Provare che i sottogruppi di un gruppo G, rispetto alla relazione di inclusione, formano un reticolo (il reticolo dei sottogruppi di G).

51    Provare che gli ideali di un anello commutativo A, rispetto alla relazione di inclusione, formano un reticolo (il reticolo degli ideali di A).

52    Provare che i sottospazi di uno spazio vettoriale V, rispetto alla relazione di inclusione, formano un reticolo (il reticolo dei sottospazi di V).

53    Si considerino le seguenti funzioni di R in R

54    Siano G il gruppo additivo dei numeri reali e G¢ il gruppo moltiplicativo dei numeri reali positivi. Provare che l'applicazione

55    Verificare se la funzione f(x) = x³ é un automorfismo del gruppo additivo dei numeri reali.

56    Provare che, a meno di isomorfismi, esistono un solo gruppo di ordine 2, un solo gruppo di ordine 3 e due gruppi di ordine 4.

57    Provare che i gruppi Z₄, U(5) e U(10) sono isomorfi.

58    Si ponga

59    Provare che l'insieme

60    Provare che l'insieme

61    Verificare che la funzione f(a+ib) = a-ib é un automorfismo del gruppo additivo e di quello moltiplicativo dei numeri complessi.

62    Provare che i gruppi (Z,+) e (2Z,+) sono isomorfi. Stabilire inoltre se sono isomorfi gli anelli (Z,+,·) e (2Z,+,·).

NOTE

¹ Notiamo esplicitamente che l'essere H e K permutabili non significa che hk = kh, per ogni h Î H e k Î K.

² Si noti che l'ipotesi che A sia unitario é essenziale per provare che L é un ideale proprio.

³ Attenzione, in questo caso il simbolo HK non denota l'insieme { hk  :  h Î H , k Î K } .