PAGINA INIZIALE pagine web di francesco mazzocca - seconda università degli studi di napoli - dipartimento di matematica - caserta INFORMAZIONI STUDENTI
Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
Corso di Laurea in Matematica
(vecchio ordinamento)
Anno Accademico 2003/2004		 Geometria Superiore
prof. Francesco Mazzocca

OBIETTIVI
Lo scopo del corso è quello di presentare alcuni aspetti, metodi e applicazioni della geometria combinatoria. Gli argomenti centrali sono: geometrie su campi di Galois, teoria dei disegni, teoria dei codici lineari.
 
PROGRAMMA
 
INIZIO LEZIONI
Lunerdì, 22 settembre
ORARIO LEZIONI
(provvisorio)
Lunedì, 11-13
Martedì, 14-16
Venerdì, 14-16
ORARIO RICEVIMENTO
dal 16.6.03 al 30.9.03
Martedì: 09.00 - 11.30
dal 06.10.03 al 31.01.04
Lunedì: 08.30 - 11.00  
ESAMI
L'esame consta di una prova orale.
PROSSIMI APPELLI
Febbraio 04
giorno 02, ore 9
giorno 16, ore 9

 
 
anno acc.2002/03

 

A V V I S I


  ESAMI  - APPELLO  DI  MARZO
  
  Le prove orali si terranno il giorno
  mercoledì, 31 marzo, ore 09.00
 

APPUNTI ON LINE
due rappresentazioni del piano di Fano: quella classica ed una che evidenzia l'esistenza di un gruppo di Singer ciclico Indice  pdf  ps

 PARTE PRIMA : Richiami e argomenti preliminari
1. Il gruppo simmetrico  pdf  ps
2. Rappresentazioni di permutazione di un gruppo   pdf  ps
3. Richiami sui campi  pdf  ps
4. Campi di Galois  pdf  ps
5. Polinomi su campi di Galois  pdf  ps
6.Richiami di geometria proiettiva e affine su un campo  pdf  ps
7. Piani proiettivi e affini  pdf  ps

PARTE SECONDA : Elementi di geometria su campi di Galois
8. Archi e calotte di ordine massimo  pdf  ps
9. Blocking set  pdf  ps

 PARTE TERZA : Elementi di teoria dei disegni
10. Generalità sui disegni  pdf  ps
11. Disegni simmetrici  pdf  ps
12. Estensioni di disegni  pdf  ps

 PARTE QUARTA : Elementi di teoria dei codici lineari
13. Generalità sui codici   pdf  ps
14. Codici lineari  pdf  ps
15. Codici lineari e disegni  pdf  ps

 Bibliografia  pdf  ps
LUCIDI DELLE LEZIONI

Introduzione alla teoria dei codici ps  pdf - Codici lineari 1 ps  pdf - Codici lineari 2 ps  pdf
- Piani finiti, ovali ed iperovali ps  pdf - Spazi proiettivi 3-dimensionali e calotte ps  pdf
- Codici ciclici ps  pdf - Spazi proiettivi ps  pdf - Disegni ps  pdf
- Disegni simmetrici ps  pdf - Codici lineari e disegni ps  pdf

ARGOMENTI DELLE LEZIONI

22 settembre : Codici su un alfabeto finito: prime definizioni ed esempi. Canali di trasmissione: prime definizioni e proprietà. Canali simmetrici. Codifica e decodifica. Sistemi di comunicazione affidabili.
26 settembre : Condizioni sufficienti per l'affidabilità di un sistema di comunicazioni. Richiami sugli spazi metrici. Metrica di Hamming sull'insieme delle parole di lunghezza fissata. Principio del nearest neighbour decoding.
29 settembre : Codici a blocchi e loro parametri.Equivalenza di codici. Codici scopritori e correttori di errori. Disuguaglianza di Hamming. Codici perfetti.
30 settembre : Richiami di teoria dei campi: sottoanello e sottocampo fondamentale di un campo; caratteristica di un campo; grado di un’estensione e teorema di moltiplicazione dei gradi; estensioni semplici; campo di spezzamento di un polinomio, campi algebricamente chiusi e chiusura algebrica di un campo. Campi finiti: ordine, ordine dei sottocampi,proprietà di calcolo.
01 ottobre :Il problema fondamentale della teoria dei codici. Disuguaglianza di Gilbert-Varshamov. Codici lineari: prime definizioni ed esempi. Equivalenza di codici lineari. Matrici generatrici e loro forma standard.
06 ottobre : Richiami su: prodotto scalare standard e ortogonalità. Codice ortogonale. Matrici controllo di parità. Sindromi. Codici autoortogonali e autoduali. Codifica, decodifica mediante una tabella standard, decodifica a sindromi.
07 ottobre : Campi finiti: esistenza e unicità, esistenza di elementi primitivi, estensioni algebriche di sottocampi, polinomi irriducibili e loro radici.
10 ottobre : "Packing problem" in uno spazio vettoriale su un campo finito, problema fondamentale dei codici lineari, equivalenza dei due problemi. Codici di Hamming. Codici lineari perfetti.
13 ottobre : Decodifica dei codici di Hamming binari. Piani affini. Piani affini associati a spazi vettoriali e piani affini numerici. Propriet\'a elementari dei piani affini. Elementi impropri e piano proiettivo associato ad un piano affine.
14 ottobre : Gruppo di Galois di un campo su un sottocampo e teoremi relativi. Il gruppo degli automorfismi di un campo finito. Il gruppo delle radici n-esime dell'unità e il gruppo delle potenze m-esime in un campo finito.
17 ottobre : Piani proiettivi: generalità, prime proprietà ed esempi, collineazioni. piani finiti. Piani proiettivi associati a spazi vettoriali 3-dimensionali e piani coordinabili su un campo.
20 ottobre : Equazioni della retta e di una omografia nei piani proiettivi coordinabili. Piani finiti e loro proprietà combinatorie. Il problrma dell'esistenza di un piano finito di fissato ordine.
21 ottobre : Le funzioni traccia e norma. Polinomi su campi finiti: polinomi ridotti e identicamente nulli, funzioni polinomiali.
24 ottobre : Lezione non tenuta per sciopero generale.
27 ottobre : Caratteri di un insieme di punti in un piano proiettivo finito e prime proprietà.
28 ottobre : Varietà algebriche su un campo finito. Teorema di Chevalley-Warning e sue conseguenze.
31 ottobre : Lezione non tenuta per esami.
03 novembre : Lezione non tenuta per esami.
04 novembre : Lezione non tenuta per esami.
07 novembre : Archi, ovali ed iperovali in un piano proiettivo finito. Ovali ed iperovali nei piani proiettivi su campi finiti e la funzione M2(2,q).
10 novembre : Introduzione alla teoria dei disegni: prime definizioni ed esempi. Richiami sugli spazi proiettivi su un campo: automorfismi lineari e semilineari di uno spazio vettoriale, spazio proiettivo associato ad uno spazio vettoriale, collineazioni e proiettività di uno spazio proiettivo.
14 novembre : Esempi di disegni: PG(d)(n,q) , AG(d)(n,q) , Estensione del piano di Fano , Piani inversivi. Prime relazioni tra i parametri di un disegno.
17 novembre : Costruzioni di disegni da altri disegni: disegno complementare, disegno duale, disegno derivato, disegno residuo. Matrici d'incidenza di un disegno e prime proprietà. Disuguaglianza di Fisher. Disegni simmetrici e loro prime proprietà.
21 novembre : Automorfismi dei disegni simmetrici. Enunciato del teorema di Bruck-Ryser-Chowla e sue applicazioni. Teorema di Bruck-Ryser. Limitazioni per il numero di punti di un disegno simmetrico in funzione dell'ordine.
28 novembre : Supporti delle parole di un codice e loro proprietà. Enunciato del teorema di Assmus-Mattson. Codice lineare su GF(q) associato ad un t-disegno: definizioni e prime proprietà.
01 dicembre : Proprietà del codice binario associato ad un piano proiettivo finito d'ordine n, con particolare riguardo al caso in cui n-2 è divisibile per 4. Non esistenza del piano d'ordine 10.
12 dicembre: Matrici di Hadamard: proprietà e metodi di costruzione. Disegni di Hadamard e loro costruzione.
09 gennaio : Richiami sull'anello di polinomi Fq[x]. L'anello quoziente Fq[x]/((xn-1)). Ideali di Fq[x]/((xn-1)) e codici ciclici su Fq. Numero di [n,k]-codici ciclici su Fq,

LETTURE CONSIGLIATE (biblioteca)
  • Appunti del corso
  • Beutelspacher A., Rosenbaum U., Projective Geometry, Cambridge University Press, 1998.
  • Biggs N.L., White A.T., Permutation Groups and Combinatorial Structures, London Methematical Society, Lecture Note Series, 33, Cambridge University Press, 1979.
  • Cameron P.J., van Lint J.H., Designs, Graphs, Codes and their Links, London Mathematical Society, Student Texts 22, 1991.
  • Cerasoli M., Eugeni F., Protasi M., Elementi di matematica discreta, Zanichelli, 1988.
  • Hill R., A First Course in Coding Theory, Oxford Applied Mathematics and Computing Science Series, Clarendon Press - Oxford, 1990.
  • Hughes D.R., Piper F.C., Design Theory, Cambridge University Press, 1988.
  • van Lint J.H., Introduction to Coding Theory, Springer, 1998.
  • Tonchev V.D., Combinatorial Configurations, Longman Scientific \& Technical, 1988.
  • Welsh D., Codes and Cryptography, Oxford University Press, 1988.
LINKS
 

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